2.4.1数量积.pptVIP

2.4 平面向量的数量积 向量的夹角 两个非零向量a 和b ，作 ， ，则 叫做向量a 和b 的夹角． O A B a b O A B b a 当 ， O A B b a 当 ， O A B a b 当 ， 记作 已知 a 与b 同向； a 与b 反向； a 与b 垂直. 平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为? ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或点积），记作a · b ，即 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定. （3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 [ 0°，180°]． （2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与 数的乘法是有区别的， a · b不能写成 a×b 或 ab . 说明： 例题讲解 例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 ，求a ·b. 解： a ·b = |a | |b |cosθ 垂直于直线OA，垂足为 B1，则 | b | cosθ O A B a b | b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影． θ为锐角时， | b | cosθ＞0 θ为钝角时， | b | cosθ＜0 θ为直角时， | b | cosθ=0 B O A a b O A B a b ，过点B作BB1 如图 当θ= 0°时， OB1= |b| ； O B A a b 当θ= 180°时， OB1= －|b| . OB1= |b| cosθ O B A a b 　　数量积的几何意义：　　 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。 即 B1 （1）e · a （2）a⊥b （3）当a 与b 同向时， （4） （5）a · b ≤| a | · | b | . 由数量积的定义，可得以下重要性质: 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 a · e = | a | cos? = a · b = 0 a · b = | a | | b |， 当a 与b 反向时， a · b =－| a | | b |， 特别地 数量积的运算律：　　 ⑴交换律： ⑵对数乘的结合律： ⑶分配律： 想一想： ∴ 向量数量积不满足结合律 . 向量的数量积满足结合律吗？ 说明： 即： 成立吗？