误区5.1 等比数列求解中忽视q的取值范围-2018届高三数学成功在我之优等生提分精品（解析版）.doc

2018届学科网高三数学成功在我 专题五 数列 误区一：等比数列求解中忽视的取值范围 一、易错提醒 等比数列求和问题是高考的重点,求解等比数列求和问题“”该不该考虑？,许多同学在解题不关心或不清楚,致使答案错误,到底那个题该考虑？那个题不考虑？认真审题,弄清题意是关键. 二、典例精析 (一) 的问题 【例1】已知数列,,,,,,. 求.学科=网 【分析】在等比数列中,若公比,则；若,则,因此在解含参数的等比数列求和问题时,一定要注意其公比是什么？能否取到1. ③当时也满足上式,所以 【点评】①求解本题容易出现下面三种错误：①忽视的情况；②忽略的情况；③用错位相减时不注意用对应项相减；④用错位相减时漏掉 .②等比数列前n项和公式成立的条件为q≠1,而当q＝1时,应按常数列求和；在含字母参数的等比数列求和时,应分q＝1与q≠1两种情况进行讨论. 【小试牛刀】设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3,S4＝15,则S6＝(　　) A．31 B．32 C．63 D．64 【解析】方法一：在等比数列{an}中,S2,S4－S2,S6－S4也成等比数列,故(S4－S2)2＝S2(S6－S4),则(15－3)2＝3(S6－15),解得S6＝63.学科=网 方法三：因为数列{an}为等比数列,若q＝1, 则有Sn＝na1,显然不符合题意,故q≠1. 设其前n项和为Sn＝kqn－k. 由题意可得 两式相除得1＋q2＝5,解得q2＝4. 代入解得k＝1.故Sn＝qn－1. 所以S6＝q6－1＝(q2)3－1＝43－1＝63. 方法四：设等比数列的公比为q, 则S2＝a1＋a2＝3,S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋q2)(a1＋a2)＝(1＋q2)×3＝15, 解得q2＝4. 故S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(1＋q2＋q4)(a1＋a2) ＝(1＋4＋42)×3＝63. 【点评】解题(1)中,方法一利用等比数列的性质Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…(Sm≠S2m)也成等比数列求解； 方法二利用等比数列的基本运算求解； 方法三利用等比数列前n项和公式的结构特征设出前n项和的表达式； 方法四是利用整体代换的方法； (二) 的问题 【例2】已知数列是首项为1的等比数列,是的前项和,且,则数列的前5项和为 . 【分析】题目已知数列是首项为1的等比数列,,很明显数列中不满足,所以本题中. 【解析】显然,所以整理得,∴, 所以是首项为1,公比为的等比数列, 前5项和. 【点评】本题主要考查等比数列前项和公式及等比数列的性质,在进行等比数列运算时要注意约分,降低幂的次数,同时也要注意基本量法的应用. 【小试牛刀】已知等比数列的各项均为正数,公比为,前项和为,若,有,则的取值范围是 .学科=网 【分析】对分类讨论. (三) 的问题 由等比数列定义可得,等比数列的公比不为0,且等比数列任意一项都不为0. 【例3】已知等比数列,若存在实数k,使得恒成立,则k的取值范围是 . 【分析】把k表示为q的函数,转化为函数求值域. 【解析】由可得,即,因为,所以. 【点评】本题易忽略,得到错误答案. 【小试牛刀】已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ,an＋1＝an＋n－4,bn＝(－1)n(an－3n＋21),其中λ为实数,n∈N*. (1)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列； (2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论. 【解析】(1)证明：假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列 ,则有a＝a1·a3,即＝λ?λ2－4λ＋9＝λ2－4λ?9＝0,矛盾.所以数列{an}不是等比数列. (2)因为bn＝(－1)n(an－3n＋21), bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1 ＝(－1)n＋1＝(－1)n＋1(an－3n＋21)＝－bn. 又b1＝－(λ＋18),所以 当λ＝－18,b1＝0,易得bn＝0(n∈N*),此时数列{bn}不是等比数列； 当λ≠－18,b1≠0,由上可知bn≠0, ∴＝－(n∈N*),此时数列{bn}是等比数列.三、迁移运用 1．【云南省师范大学附属中学2018届高三第七次月考】正项数列是等比数列，公比为q，且，则实数q为 A. 或1 B. 1 C. 2 D. 或 【答案】B 【解析】由题意，，解得.故选B. 2.等比数列x,3x＋3,6x＋6,…的第四项等于(　　) A.－24 B.0 C.12 D.24 【答案】A 【解析】∵x,3x＋3,6x＋6是等比数列的前三项,∴(3x＋3)2＝x(6x＋6),解得x＝－1或－3.当x＝－1时,数列前三项为－1,0,0,不构