数形结合：解决几何问题的新视角.docVIP

数形结合：解决几何问题的新视角 数形结合是初中数学重要的思想方法，是解决函数问题的有效途径，几何问题除了可以利用图形的性质来解决，也可以用平面直角坐标系和一次函数的知识来解决，为几何问题的解决提供新的思路． 例题1 （）如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交于点． （1）试证明：无论点运动到上何处时，都有△≌△ABQ； （2）当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的； （3）若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点运动到什么位置时，△恰为等腰三角形． （1）在正方形中， 无论点运动到上何处时，都有=AB ∠DAQ=∠BAQ AQ =AQ ∴△ADQ≌△ABQ (2)如图1-2， 以为原点x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，过点作⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F． == ∴QE= ∵点在正方形对角线上 ∴点的坐标为 ∴ 过点（0，4）， (两点的函数关系式为：y=2x+4 当y=0时，x=2 ∴点的坐标为（2，0） ∴时，△的面积是正方形面积的． （3）若△是等腰三角形，则有 =QA或=DQ或=AD ①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知 此时△是等腰三角形 ②当点与点重合时，点与点也重合， 此时=DQ, △ADQ是等腰三角形 ③以为原点建立如图所示的直角坐标系，设点在上运动到时，有AD=AQ． 过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F,则QE=QF 在t△AQF中，，∠=45° ∴QF=AQ·sin45°= ∴Q点的坐标为（，） ∴过两点的函数关系式：+4 当=4时， 点的坐标为（4，8-4）． ∴当在上运动到时，△ADQ是等腰三角形． ,②由点的坐标转化成一次函数关系式，③由一次函数关系式转化成点的坐标，④由点的坐标转化成线段CG、GH的长度，从而证明线段相等；； 例题2（）o，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上． （1）求∠AED的度数； （2）求证：AB=BC； （3）如图2-2，若F为线段CD上一点，∠FBC=30o．求 的值． 解析 (1)∵∠BCD=75o，AD∥BC ∴∠ADC=105o ∵△DCE是等边三角形 ∴∠CDE =60o ∴∠ADE =45o ∵AB⊥BC，AD∥BC ∴ ∠DAB=90o ， ∴∠AED=45o (2) 如图2-3，过D点作DF⊥BC，交BC于点F ∵∠DCF=∠CEB，∠EBC=∠DFC ，DC=EC ∴△DFC≌△CBE 则DF=BC ∴AB=CB (3)如图2-4，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 过点D作DH⊥BC，过点F作FG⊥BC 设FG=1，则BF=2，BG=，AB=BC=2，F(,1),C(2,0)，G(,0) 设直线CF的函数关系式为：y=kx+b 由题意得：，解得： ∴ 当y=2时，，∴ ∴ ∴，，∴CG=GH ∵ FG∥DH ∴△CFG∽△CDH ∴ ∴ 点评：本题借助直角梯形的直角建立平面直角坐标系，借助特殊角(30°)和特殊图形(等边三角形、含30°角的直角三角形),巧妙地设出某条线段长度，顺利地表示出其他线段长度和已知点的坐标，利用 相似三角形的性质求出线段CG、GH的长度，证明线段相等； 例题3 如图3-1，在矩形ABCD中，AB=4 cm，AD=3 cm，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE． (1)四边形ACED是什么图形？为什么？ (2)求四边形ACED的面积． 解析 (1)如图3-2，以A为原点x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设AO 为x cm,则CO= x cm,OH=4-x cm, 在△AOD中，由勾股定理得：32+(4-x)2=x2 解得：x= ∵AD∥EH ∴△ADO∽△EHO ∴, ∴E(,) ∴直线DE的函数关系式为：y=x+3 ∴直线AC的函数关系式为：y=x ∴AC∥DE ∵AD不平行于CE ∴四边形ACED是梯形 ∵AD=CB=CE ∴梯形ACED是等腰梯形 (2)S四边形ACED=S△ADC+ S△DEC =6+=7 点评：本题借助矩形的直角建立平面直角坐标系，根据已知线段的长度表示出已知点的坐标，求出两条直线的函数关系式，依据比例系数k相等，证明两条直线平行； 例题4（）已知正方形ABCD中，E为BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接E