附.几何性质.ppt

例I—1：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。 例I—2：确定图示图形形心C的位置。 * 1、静矩与形心 2、惯性矩、极惯性矩和惯性积 3、平行移轴公式、转轴公式 静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形心主惯性轴　 本章重点 关键概念 目录　 § ?-1 静矩和形心 § I-2 极惯性矩 · 惯性矩 · 惯性积 § ?-3 平行移轴公式 § ?-4 惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的 主惯性轴和主惯性矩 总目录 重心位置的确定 由合力矩定理得 为微元体的质量和物体的总质量，g 为重力加速度。则有： 设： 其中 分别 物体质心坐标的一般计算公式。 § ?-1 静矩和形心 一、基本概念 1. 静矩（或一次矩） O y d A z z y C ——微面积对z轴的静矩 ——微面积对y轴的静矩 ——整个平面图形对y轴的静矩 ——整个平面图形对z轴的静矩 2.形心坐标公式 常用单位：m3 或mm3 。 数 值：可为正、负或 0 。 3.静矩与形心坐标的关系 推论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。 1.组合截面的静矩 根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即： 二、讨论： 2.组合截面的形心坐标公式 组合截面静矩 组合截面面积 组合截面的形心坐标公式为： 解： 解： 目录 § I－2 极惯性矩 · 惯性矩 · 惯性积 1.极惯性矩（或截面二次极矩） 2.惯性矩（或截面二次轴矩） 所以 O y z z y r d A （即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。） 4.惯性积 （其值可为正、为负或为零) 结论：截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。 3.惯性半径 （单位：长度的一次方） O y z z y r d A 主惯性轴—平面图形对过一点的一对正交轴的惯性积等于零时，这对坐标轴称为图形的主惯性轴，简称为主轴。 主惯性矩—平面图形对主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性轴—通过图形形心的主惯性轴。 形心主惯性矩—平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩。 例I—3：试计算矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩。 解： 取平行于y轴的狭长条 则 dA=b dz 同理 z h C y d z z b §?-3 平行移轴公式 1.平行移轴公式推导 左图是一面积为A的任意形状的平面，c为其形心，yc、zc为形心坐标轴。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为y、z ,形心c在oyz坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为： a zc z yc y C O b dA yc zc z y 同理，有： 注： 式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。 例I—4：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。 （1）求形心坐标 解： x y b(y) yc C d xc y （2）求对形心轴xc的惯性矩 由平行移轴公式得： 例I—5：求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy 解： 思考题I—2：O为直角三角形ABD斜边上的中点，x、y轴为过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案(已知ba)： （A）Ixy＞０　　　　 （B） Ixy０ ( C ) Ixy=０ 　　　　 （D） Ix=Iy 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x A B D y O a b （思考题I—2） 思考题I—3：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中?为任意值），该图形的: (1)惯性积Ixy＝＿＿ (2)惯性矩Ix＝＿＿ 、 Iy＿＿＿。 y x a a ? （思考题I—3） 目录 §?-4惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的主惯性轴和主惯性矩 1. 转轴公式 新坐标系ox1y1 旧坐标系o x y 将上述关系代入平面图形对x1轴的惯性矩： x y O x y a x y a 1 1 A B C D E d A x y 1 1 利用三角函数整理上式，得转轴公式 ： 同理得： 规定：上式中的? 的符号为：逆时针为正，顺时针为负。 即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。 将上述转轴公式中的前两式相加可得： 讨论： 从惯性积的转轴公式可推知，随着坐标轴旋转，惯性积将随着?角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度?0，使截面对与该角对应的新坐标轴x0、y0的惯性积为零。依此进行如下定义： 2.截面的主惯性轴和主惯性矩 1.主惯