第三节 初等变换与矩阵矩阵的秩new.pptVIP

给方程两端右乘矩阵 得 22 给方程两端左乘矩阵 23 得 给方程两端右乘矩阵 24 矩阵方程 解 26 解 例4 27 28 矩阵的秩 1 一、矩阵的秩的概念 矩阵的秩 2 显见， 3 例 解 计算A的3阶子式， 4 例 解 结论：行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数. 5 问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？ 二、矩阵秩的求法 当矩阵阶数较高时，利用定义计算矩阵的秩，计算量是相当大的， 而行阶梯形矩阵的秩 就是其非零行的行数， 又对于任何矩阵 ， 总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯 ′ 因此，我们考虑能否利用行阶梯形矩 阵来求 的秩. 形矩阵， 6 初等变换法求矩阵的秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 7 解 再看刚才的例 显然，非零行的行数为2， 8 例： 解 9 (1) (2) 10 11 即 由此可知 思考题 24 §2 .4 矩阵的初等变换 ?2x1 ? 3x2 + 4x3 = 4 x1 + 2x2 ? x3 = ?3 2x1 + 2x2 ? 6x3 = ?2 一. 初等变换 ? 初等变换, 相当于高斯消元法 ? ?2x1?3x2+4x3 = 4 x1+2x2 ?x3 = ?3 2x1+2x2 ?6x3 = ?2 x1+2x2 ?x3 = ?3 ?2x1?3x2+4x3 = 4 x1 + x2?3x3 = ?1 x1+2x2 ?x3 = ?3 x2+2x3 = ?2 ?x2?2x3 = 2 ?2 ?(?1) x1+2x2 ?x3 = ?3 x2+2x3 = ?2 0 = 0 ?1/2 ?1 ?2 ?3 4 4 1 2 ?1 ?3 2 2 ?6 ?2 轻装上阵 1 2 ?1 ?3 ?2 ?3 4 4 1 1 ?3 ?1 ?1/2 1 2 ?1 ?3 0 1 2 ?2 0 ?1 ?2 2 ?2 ?(?1) 1 2 ?1 ?3 0 1 2 ?2 0 0 0 0 ?1 ? x1+2x2 ?x3 = ?3 x2+2x3 = ?2 0 = 0 ?(?2) 1 2 ?1 ?3 0 1 2 ?2 0 0 0 0 x1 ?5x3 = 1 x2+2x3 = ?2 0 = 0 ?(?2) 1 0 ?5 1 0 1 2 ?2 0 0 0 0 x1 = 5c + 1 x2 = ?2c ?2 x3 = c 其中c为任意实数. 1 0 0 0 0 1 2 ?2 0 0 0 0 ?(?2) ?2 1 0 ?5 1 0 1 2 ?2 0 0 0 0 ?(?1) ?5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ? Gauss-Jordan reduction 1. 初等行变换(elementary row operations) 初等列变换(elementary column operations) (1) 对换变换: ri ?rj, ? (2) 倍乘变换: ri ?k, (3) 倍加变换: ri+krj. 初等变换 (1) 对换变换: ci ?cj, (2) 倍乘变换: ci ?k, (3) 倍加变换: ci+kcj. 初等行变换 初等列变换 一. 初等变换 定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 3 初等变换与初等矩阵 二. 初等矩阵(elementary reduction matrices) E ci ?cj E(i, j) E ci?k E(i(k)) E ci+kcj E(j, i(k)) E ri ?rj E(i, j) (1) E ri?k E(i(k)) (2) E