第三章 第二节 Newnon-Cotes型求积公式.ppt

* * 第二节 Newnon-Cotes型求积公式 一、 公式的一般形式 二、常用的 公式 三、小结 一、 公式的一般形式 由于多项式是一个十分简单的不但计算方便，求 积分也很方便 ，因此我们用 据插值理论可知，若给定函数 在区间 上 个互异点处的值 ， 则可以用插值 多项式近似地把 表示出来。 插值多项式 代替被积函数 ： 由于 于是 式成为 若记 则有 取 作为积分 的近似值，则得插值求积分 公式。 其中， 若假定求积公式的节点 为等距分布， 则插值求积公式 就叫做 公式。此时 ，便有 令 从而 成为 其中 通常称为 系数。 由定义1 可知 ， 公式的代数精度至少 是 次，进一步可以证明当 n是偶数时 ， 公式的 代数精度可达到 次。 二、常用的 公式 1 、梯形公式 在 公式 中，取 时，由 知 ，故有 梯形AabB 的面积 公式 称为梯形公式。 它的几何意义就是用 近似代替曲边梯形的面积 。 B A a b x y 0 它的误差可由下面定理给出. 定理1 若 在 上有二阶连续导数, 则梯形公式 的误差估计为 证明 若 在 上有二阶连续导数，则 于是有 由于 是依赖于 的函数，在 上连续， 而且 则应用积分学中的中值定理， 在 上存在一点 ，使 证毕 。 在 公式 中，取 ， 则有 由此得到 公式 其中 式称为 公式。其几 何意义就是用抛物线 围成的曲边梯形面积 近似代替由 所围成的曲边梯形面积。 0 a a+b/2 b y A B 由于这个原因，公式 也称抛物线公式。 定理2 若 在 上有四阶连续导数, 公式的误差估计 为 证明 由插值理论有 于是 公式有误差 *