第9章-应力状态分析-2.pptVIP

由前述广义虎克定律 有： 则应变能密度为： 而主单元体体积为： 3、形状改变比能 一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。 1 = + 主单元体分解为图示两种单元体的叠加，有 s 2 s 3 s (a) s m s m s m (b) s 2 -s m =s 2 s 1 -s m =s 1 s 3 -s m =s 3 (c) 平均应力： 则体积不变，仅发生形状改变(图c) 。 在?m作用下，图b无形状改变，且其体积应变同图a，而对图c，因为： 与此对应，图a的体积改变能密度等于图b的应变能密度， 而图a的形状改变能密度等于图c所示单元体的应变能密度， 1 = + s 2 s 3 s (a) s m s m s m (b) s 2 -s m =s 2 s 1 -s m =s 1 s 3 -s m =s 3 (c) 而： 1 = + s 2 s 3 s (a) s m s m s m (b) s 2 -s m =s 2 s 1 -s m =s 1 s 3 -s m =s 3 (c) 即(图b) ： 而： 所以： 另外，由图c可得(仅发生形状改变),由应变能密度公式： 所以： 由两者相加并与图a的应变能密度比较, 可证明： 对一般空间应力状态的单元体，应变能密度可由六个应力分量和对应的应变分量来表示，即为： 请推导单纯由应力分量表示的应变能密度！ 例：证明 解：对图示纯剪应力状态有： 该单元体的应变能为： g xy t x dz dy dx t x 所以，应变能密度为： 而对纯剪应力状态，其主应力为： 如左图所示。 t x s1=?x s3=-?x s1=?x 而由主应力和主应变表示的应变能密度为： 又由于： 所以： 由此可得： 最后证得： 结合前式，有： §9.6 平面应力状态下的电测法 一般形式： 对各向同性材料图示平面应力状态，在线弹性、小变形条件下，?x、?y与切应变无关，即有： 由此可见，可通过测量相应的线应变来确定一点的应力状态。 s x t xy s y 例：已知图示简支梁C点45°方向的线应变?，材料的弹性模量为E，求载荷F。其中 1、已知主应力方向的平面应力状态 只需测出主应力方向上的主应变?1、?2即可求得主应力。 l/3 2l/3 F C 45 ° b ? 而： 所以： 解：C点的应力状态为图示纯剪应力状态。 t C 45° ?3=t ?1=t 主应力方向如图中红线所示，一主应力方向的应变已知，并且 一般用三个方向上的应变测量来求得应力值，如： 2、主应力方向未知的平面应力状态 或： 对下图所示平面应力状态，对45°应变花，在x、y方向有： s y t x s x e x e y e 45 ° 45° 并且： 利用斜截面应力的计算式可得： 由此可得： 或 由此可见，通过上述三个方向线应变的测量即可求出该点的应力状态。请推导等边三角形应变花的计算公式！ 例：构件表面某点O，实验测得该点沿0°与45°的 正应变分别为?0°=450×10-6、?45°=350×10-6，沿90°方位的正应变?90°=100×10-6，已知E=200 GPa，?=0.3 ，试求该点处的主应力 。 解：显然，有： 由此可得： 进而可得： §9.3 空间应力状态的概念 下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况，称为一般的空间应力状态。 图中x平面有： 图中y平面有： 图中z平面有： 在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第二个表示应力的方向。 x y z O d x d y d z t xy t xz s x t yx s y t yz t zy s z t zx t xy s x t xz t zy s z t zx t yx s y t yz 一定可找到一个单元体，其三对相互垂直的面都是主平面。 空间应力状态共有9个分量。 该单元体称为主单元体，主应力分别为： ?3 ?2 ?1 x y z O d x d y d z t xy t xz s x t yx s y t yz t zy s z t zx t xy s x t xz t zy s z t zx t yx s y t yz 根据切应力互等定理，独立的分量只有6个，即： 空间应力状态：三个主应力都不等于零； 平面应力状态：两个主应力不等于零； 单向应力状态：只有一个主应力不等于零。 ?3 ?2 ?1 x y z O d x d y d z t xy t xz s x t yx s y t yz t zy s z t