第9章 1-线性方程组的迭代解法.ppt

第9章 线性与非线性方程组的迭代法 9.1 Jacobi、G-S、SOR迭代法 一 . Jacobi迭代法 例1 二 . Gauss-Seidel迭代法 例2 三 . SOR(超松弛)迭代法 例3 9.2 迭代法的收敛性 例4 例5 实用准则 例5 例6 SOR法收敛性的结论 ， ， ， ， 对于某些特殊矩阵,从方程本身就可以判断其收敛性. 得: 即: 与假设矛盾 证: (1)对于Jacobi迭代法,其迭代矩阵为 根据定理3 Jacobi迭代法收敛 (2)对于G—S迭代法,其迭代矩阵为 不能使用定理3,而用定理2 即 从而 因此 由于 可得 矛盾 由定理2 G—S迭代法收敛 解: 讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求 解方程组Ax=b时的收敛性，如果收敛，并比较哪种 方法收敛较快，其中 解: (1)对Jacobi方法，迭代矩阵 (2)对Gauss-Seidel方法，迭代矩阵 Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛快. 要求寻找更经济、适用的数值解法. (1)式和(2)式同解,称(1)(2)等价.对线性方程组(2),采用以下迭代步骤: ， ， 这种方式就称为迭代法.以上过程称为迭代过程.迭代法产生一个序列 如果对于任意 其极限存在,即 则称迭代法收敛,否则称为发散. (3) ， ， 迭代法的基本思想是通过构造迭代格式产生迭代序列，由迭代序列来逼近原方程组的解，因此，要解决的基本问题有：1. 如何构造迭代格式 2.迭代序列是否收敛 设线性方程组(1)的一般形式为 ， ， (4) 一 . Jacobi迭代法 ， ， 由(4)建立Jacobi迭代公式为 (5) 将(5)式转化为矩阵形式 ， ， 故迭代过程(5)的 矩阵形式为 称(5) (6)式为解线性方程组(1)的Jacobi迭代法(J法) ， ， 用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4 解: ， ， ， ， ， ， 依此类推,得方程组满足精度的解为x12 迭代次数 为12次 x4 = 3.0241 1.9478 0.9205 d = 0.1573 x5 = 3.0003 1.9840 1.0010 d = 0.0914 x6 = 2.9938 2.0000 1.0038 d = 0.0175 x7 = 2.9990 2.0026 1.0031 d = 0.0059 x8 = 3.0002 2.0006 0.9998 d = 0.0040 x9 = 3.0003 1.9999 0.9997 d = 7.3612e-004 x10 = 3.0000 1.9999 0.9999 d = 2.8918e-004 x11 = 3.0000 2.0000 1.0000 d = 1.7669e-004 x12 = 3.0000 2.0000 1.0000 d = 3.0647e-005 ， ， 分析Jacobi迭代法(5)的迭代过程 ， ， ， ， 用Gauss-Seidel迭代法求解例1. 解: ， ， x1 =2.5000 2.0909 1.2273 d =3.4825 x2=2.9773 2.0289 1.0041 d =0.5305 x3 =3.0098 1.9968 0.9959 d =0.0465 x4 =2.9998 1.9997 1.0002 d =0.0112 x5 =2.9998 2.0001 1.0001 d =3.9735e-004 x6 =3.0000 2.0000 1.0000 d =1.9555e-004 x7 =3.0000 2.0000 1.0000 d =1.1576e-005 通过迭代,至第7步得到满足精度的解x7 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均为 简单迭代法 ， ， 从例1和例2可以看出,Gauss-Seidel迭代法的收敛 速度比Jacobi迭代法要快（达到同样的精度所需迭代 次数较少）. 但这个结论，在一定条件下才是对的. 后面我们会看到，甚至有这样的方程组， Jacobi迭代 收敛，而Gauss-Seidel迭代却是