第5章 线性方程组的迭代法.pptVIP

高斯—赛德尔迭代法 线性方程组为 雅可比迭代法的迭代矩阵矩阵 高斯—赛德尔迭代法的迭代矩阵 ， 故雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法均收敛。 数值分析简明教程 对角占优方程 称 阶方阵 是对角占优的，如果其主对角线元素的绝对 值大于同行其它元素绝对值之和： 若线性方程祖的系数矩阵为对角占优阵，则称这个线性方程组为 对角占优方程组。 定理5 对角占优方阵是非奇异的。 定理6 对角占优方程组的雅可比迭代公式和高斯—塞德尔迭代公式 均收敛。 数值分析简明教程 王能超 编著 安工大2004 6.* 数值分析简明教程 第5章 线性方程组的迭代法 1 迭代公式的建立 2 向量和矩阵的范数 3 迭代过程的收敛性 数值分析简明教程 引言 前几章研究过的几个课题，无论是插值公式与求积公式的建立， 还是常微分方程差分格式的构造，其基本思想都是将其转化为代数 问题来处理，最后归结为解线性方程组。工程技术的科学计算中， 线性方程组也会经常遇到。因此，线性方程组的解法在数值分析中 占有极其重要的地位。 线性方程组的解法大致分为直接法和迭代法两大类。本章将先 介绍迭代法，这类算法一个突出优点就是算法简单，因而编制程序 比较容易。但是迭代法也有缺点,它要求方程组的系数矩阵具有某种 特殊性质，以保证迭代过程的收敛性。发散的迭代过程是没有实用 价值的。 例1 求解方程组 数值分析简明教程 雅可比迭代公式 解线性方程组迭代法的基本思想是将联立方程组的求解归结为重 复计算一组彼此独立的线性表达式，这就使问题得到了简化。 考察一般形式的线性方程组 ， 从上式中分离出变量 ，将它改写成 ， 即得到解方程组的雅可比迭代公式: ， 数值分析简明教程 雅可比迭代公式2 数值分析简明教程 雅可比迭代公式3 数值分析简明教程 高斯—塞德尔迭代公式 在迭代的每一步设定计算顺序 并且，在计算迭代值 充分利用它前面的 新信息 ， 这样设计出来的迭代公式 ， 称为高斯—塞德尔迭代公式。 数值分析简明教程 超松弛法 松弛法实质是高斯—塞德尔迭代的一种加速方法。它将前一步 的结果 与高斯—塞德尔迭代值 适当加权平均： 迭代 加速 式中系数 称为松弛因子。为保证迭代收敛，要求 。 由于迭代值 通常比 精确，所以加大它的比重，取松 弛因子 ， 这种方法称为超松弛法。 数值分析简明教程 迭代公式的矩阵表示1 数值分析简明教程 迭代公式的矩阵表示2 数值分析简明教程 迭代公式的矩阵表示 考察线性方程组 ， 设将系数矩阵 分裂为 其中 为对角阵， 和 分别为严格下三角和严格上三角阵。 如果将所给方程 改写为 据此建立的迭