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位势理论的一些补充 LIPING LI Contents 1. ⼀些参考⽂献 1 1.1. 分析位势论 1 1.2. 概率位势论 1 2. Hunt 假设 2 3. 马⽒过程的位势对应的算⼦ 3 4. 位势理论的⼀些应⽤及其他 4 References 4 1. ⼀些参考⽂献 1.1. 分析位势论. ⼗九世纪后半叶, ⽤位势理论研究Laplace ⽅程等相关理论见于现在的⼤多数 数理⽅程⼊门教材, 较为经典的如 Courant Hilbert 著 [CH53] [CH89] (现有中译本). 其余国 内外教材不胜枚举. Poincaré 提出的 Balayage 思想, 最早可以追溯到 Gauss [G-1840] 提出的 reduce 思想. Gauss 的思想后来被 Brelot, Frostman, Cartan 等⼈加以发展, 如 [Frostman, 1935/1938], [Cartan, 1945/1946]. ⽽ Poincaré 的 Balayage 思想是被 Poussin 实现和发展的, 如 [Poussin, 1932/1937/1938] 等. 这两者的思想在本质上是⼀致的. Riesz 在 [R26] [R30] 最早建议系统的研究上调和函数, 并建⽴了上调和函数的 Riesz 分解. Martin 在 [M41] 中提出理想边界的思想, ⽤以推⼴ Poisson 公式; 但他在建⽴ Dirichlet 问题解 的积分表⽰时, 所依赖的 Martin 边界上的测度未必唯⼀, 因此他提出极⼩调和函数 (minimal harmonic function) 的概念来解决唯⼀性的问题. 容度理论 (capacity) 散见于 1920s-40s 的很多 论⽂中, ⽽后 Choquet 在 50 年代中建⽴了⼀般容度理论, 见 [C55]. 容度理论是从测度论中启发 ⽽来的, 因⽽容度继承了测度的很多性质, 但它又不同于测度, 最本质的⼀点即: 容度不满⾜可列 可加性, ⽽只具有次可列可加性. 1.2. 概率位势论. 对于 Brown 运动的起源, Itô McKean 在他们的名著 [IM74] 的前⾔部分做 了⾮常系统的历史回顾. 关于布朗运动的读物⾮常多, 除了Itô McKean 的著作, ⽐较著名的 如 [RY99] [CW05] [MP10] [KS88] 等等. Port Stone 的著作 [PS78] 详细介绍了 Newton 位势 理论和 Brown 运动的关联. Katutani (⾓⾕静夫, 泛函分析中有以他命名的不动点定理), Kac (著名的数学物理学家, Feynman-Kac 公式中的 Kac) 等分析学家对布朗运动和经典位势的发展做出了很⼤的贡献, Doob 则完成了概率中的⼤量⼯作, Doob 倾其⼀⽣的名著 [D84] 总结了整个⼆⼗世纪以来概率 位势论中的主要结果和进展. Hunt [H57] [H58] 将 Brown 运动对应的 Newton 位势论推⼴到⼀般马⽒过程对应的概率 位势论. Hunt 的⼀⽣充满了传奇⾊彩: