数值分析---第五章 代数插值.pptVIP

代数插值 (一)拉格朗日插值 插值余项 4.埃特金插值公式 6、埃尔米特插值 应用实例 特别当n＝1 时，插值条件为： 于是有： 例1. 解: 作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有 可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题， 我们可以使用分段两点三次Hermite插值 Nn(x)= f[x0 ]+(x- x0) f[x0 , x1 ]+ (x- x0) (x- x1) f[x0 , x1 , x2 ] + (x- x0) (x- x1) … (x- xn -1) f[x0 , x1 , … , xn] Nn+1(x)= Nn(x) + (x- x0) (x- x1) … (x- xn) f[x0 , x1 , … , xn+1] 余项： …… …… f[x0,x1,x2,x3] f[x1,x2,x3] f[x2,x3] f[x3] x3 f[x0,x1,x2] f[x1,x2] f[x2] x2 f[x0,x1] f[x1] x1 f[x0] x0 三阶差商 二阶差商 一阶差商 f[x] x 差商表 第一建立差商表： Newton的方法步骤： 第二写出牛顿插值多项式 Nn(x)= f[x0 ]+(x- x0) f[x0 , x1 ]+ (x- x0) (x- x1) f[x0 , x1 , x2 ] + (x- x0) (x- x1) … (x- xn -1) f[x0 , x1 , … , xn] Nn+1(x)= Nn(x) + (x- x0) (x- x1) … (x- xn) f[x0 , x1 , … , xn+1] 练习：1 已知f(-1)=2, f(1)=1, f(2)=1，求f(x)的二次Newton插值多项式。 解： 设x0=-1,x1=1,x2=2, 则 Newton插值例题1：? 碳含量x(%) 0.10 0.30 0.55 0.70 0.80 200C时电阻y 15 18 21 22.6 23.8 试写出Newton插值多项式N3(x) 和N4(x) , 在钢线碳含量对电阻的效应的研究中,获得数据如下： 并计算N3(0.4)和N4(0.4)的值。 解:建立Newton插商表 k xk f[xk] 一阶 二阶 三阶 四阶 0 0.10 15 ? 1 0.30 18 15 ? 2 0.55 21 12 -6.66667 ? 3 0.70 22.6 10.66667 -3.33333 5.555569 ? 4 0.80 23.8 12 5.33326 17.33317 16.825138 写出牛顿插值多项式： N4(x)= N3(x) + (x- x0) (x- x1) (x- x2) (x- x 3) f[x0 , x1 , x2, x3, x4] N3(x)= f[x0 ]+(x- x0) f[x0 , x1 ]+ (x- x0) (x- x1) f[x0 , x1 , x2 ] + (x- x0) (x- x1) (x- x2) f[x0 , x1 , x2, x3] =15+15(x-0.1) -6.666667(x-0.1) (x-0.3) + 5.555569(x-0.1) (x-0.3) (x-0.55) N3(0.4)=19.2750 ＝ N3(x) + 16.825138(x-0.1) (x-0.3) (x-0.55) (x-0.70) N4(0.4)= 19.297714 练习：2.现有一组实验数据如下表， 1．分别用线性插值与二次插值计算f(1.64)的近似值； 2．写出f (x)的三次插值多项式; 3．写出f (x)的三次牛顿(Newton)插值多项式 62.36 36.49 22.25 4.76 f(x) 3.6 2.3 1.5 0.4 x L1 (1.640000)=24.741999; L2 (1.640000)=24.649599 3.差分与等距节点公式 向前差分 i i i f f f - = ? + 1 i k i k i k i k f f f f 1 1 1 1 ) ( - + - - ? - ? = ? ? = ? 向后差分 1 1 1 - - - ? - ? = ? i k i k i k f f f i?1 i i f f f - = ? 中心差分 其中 当节点等距分布时: （k 个差分因子） 记 fi=f(xi) =f(x0+ih) 差分的重要性质： 性质3：若 f (x)是 m 次多项式，则