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信息学奥赛中的特殊数据结构——并查集 九江市一中 龚禹 在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能采用一种全新的抽象的特殊数据结构——并查集来描述。 一、数学准备 首先，我们从数学的角度给出等价关系和等价类的定义： 定义1：如果集合S中的关系R是自反的，对称的，传递的，则称他为一个等价关系。 ——自反：x＝x； ——对称：若x＝y，则y＝x； ——传递：若x＝y、y＝z，则x＝z。 要求：x、y、z必须要同一个子集中。 定义2：如果R是集合S的等价关系。对于任何x∈S，由[x]R＝{y|y∈S and xRy}给出的集合[x]R称为由x∈S生成的一个R的等价类。 定义3：若R是集合S上的一个等价关系，则由这个等价关系可产生这个集合的唯一划分。即可以按R将S划分为若干不相交的子集S1，S2，S3，S4，……，他们的并即为S，则这些子集Si变称为S的R等价类。 划分等价类的问题的提法是：要求对S作出符合某些等价性条件的等价类的划分，已知集合S及一系列的形如“x等价于y”的具体条件，要求给出S的等价类的划分，符合所列等价性的条件。（我们上面提到的联系，即可认为是一个等价关系，我们就是要将集合S划分成n个联系的子集，然后再判断x，y是否在一个联系子集中。） 二、引题——亲戚（relation） 【问题描述】若某个家族人员过于庞大，要判断两个是否是亲戚，确实还很不容易，现在给出某个亲戚关系图，求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。 规定：x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚，那么x的亲戚都是y的亲戚，y的亲戚也都是x的亲戚。（人数≤5000，亲戚关系≤5000，询问亲戚关系次数≤5000）。 【算法分析】 1. 算法1，构造图论模型。 用一个n*n的二维数组描述上面的图形，记忆各个点之间的关系。然后，只要判断给定的两个点是否连通则可知两个元素是否有“亲戚”关系。 但要实现上述算法，我们遇到两个困难： （1）空间问题：需要n2的空间，而n高达5000！ （2）时间问题：每次判断连通性需要O(n)的处理。 该算法显然不理想。 并查集多用于图论问题的处理优化，我们看看并查集在这里的表现如何。 2. 算法2，并查集的简单处理。 我们把一个连通块看作一个集合，问题就转化为判断两个元素是否属于同一个集合。 假设一开始每个元素各自属于自己的一个集合，每次往图中加一条边a－b，就相当于合并了两个元素所在集合A和B，因为集合A中的元素用过边a－b可以到达集合B中的任意元素，反之亦然。 当然如果a和b本来就已经属于同一个集合了，那么a-b这条边就可以不用加了。 （1）具体操作： ① 由此用某个元素所在树的根结点表示该元素所在的集合； ② 判断两个元素时候属于同一个集合的时候，只需要判断他们所在树的根结点是否一样即可； ③ 也就是说，当我们合并两个集合的时候，只需要在两个根结点之间连边即可。 （2）元素的合并图示： ① 合并1和2 ② 合并1和3 ③ 合并5和4 ④ 合并5和3 （3）判断元素是否属于同一集合： 用father[i]表示元素i的父亲结点，如刚才那个图所示： faher[1]:=1；faher[2]:=1；faher[3]:=1；faher[4]:=5；faher[5]:=3 至此，我们用上述的算法已经解决了空间的问题，我们不再需要一个n2的空间来记录整张图的构造，只需要用一个记录数组记录每个结点属于的集合就可以了。 但是仔细思考不难发现，每次询问两个元素是否属于同一个集合我们最多还是需要O(n)的判断！ 3. 算法3，并查集的路径压缩。 算法2的做法是指就是将元素的父亲结点指来指去的在指，当这课树是链的时候，可见判断两个元素是否属于同一集合需要O(n)的时间，于是路径压缩产生了作用。 路径压缩实际上是在找完根结点之后，在递归回来的时候顺便把路径上元素的父亲指针都指向根结点。 这就是说，我们在“合并5和3”的时候，不是简单地将5的父亲指向3，而是直接指向根节点1，如图： 由此我们得到了一个复杂度只是O(1)的算法。 〖程序清单〗 （1）初始化： for i:=1 to n do father[i]:=i; 因为每个元素属于单独的一个集合，所以每个元素以自己作为根结点。 （2）寻找根结点编号并压缩路径： function