教师在学生除法知识上概念知识发展的冲击-数学教师知识库.DOCVIP

教師的概念性知識發展在學生除法知識上的影響 Janeen Lamb and George Booker Lamb,J and Booker,G(2004). The impact of developing teacher conceptual knowledge on student’s knowledge of division. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education,3,177-184 此研究調查孩子的除法知識以及它和他們的教師經專業發展後對除法概念上的理解有什麼樣的關係。在47個七年級學生和2個老師分兩階段實施紙筆測驗。接下來對不同階段的六位學生來和老師進行訪談。研究結果顯示大部分階段一的學生採用有限理解的步驟。他們的教師只顯示了少許的概念性理解，然而卻過多的顯示程序性知識。對照階段二的教師和學生，在測驗和訪談中皆顯示出概念上的知識。 引言 除法就許多每天的生活情況而言是必需的，舉凡從找出平均數到決定速率和牽涉到燃料使用、銷售價格和花費以及預算的比率。除法在問題解決上也是很關鍵的，它是面積、體積和機率基本判斷中思考的一部分。一個有把握的除法理解和其他種類的乘法思考，在伴隨著分數、比、代數學甚至更深的數學活動中是不可或缺的，而這些活動將影響從小學的算術思考到中學課程裡甚至往後的高等思考整個過渡時期。可是，很多學生對除法感到相當的困難，而且除法被學生和教師認為是在學習四則運算中最困難的部分。 這些困難的主要根源在於死記那些經常在教學中佔有重要地位的步驟，以及與除法有關連卻僅提供少許的洞察力在接下來步驟上的表達方式或可以與那些能完成除法的基本乘法概念間關係的表達方式(Booker et al 2004)。經常，學生不知道如何表達出除法過程中每一步驟與必要的乘法事實間的聯繫這樣的除法概念，他們無法閱讀或解釋除法陳述或結果。(Greer 1995；Simon 1993) 無論在教或學數學上，都應該集中在那些多年來被當作研究主題的概念上的理解或程序的能力上。(Ma 1999, Hiebert 1987)無論如何，概念上的理解似乎並沒有透過單單死背學習步驟而建立；簡單地通曉必要的步驟也無法指出例如除法數學過程中的概念性理解。(Silver 1987)當然，數學的概念和步驟必須連在一起發展，以便學生能看到概念和過程中的連接，能從乘法觀點解釋數學，能意識到基礎數學的基本概念，能擁有能聯想先前學過之概念並在他們知識上產生連貫性的能力。(Ma 1999:122) Ma(1999)的研究比較了遍及各數學主題中有經驗的美國和中國國小教師在概念上的理解和在程序上的能力。她做了這樣的推論，對學生在所有將來學習和問題解決時所依賴之基礎概念的學習上有最主要影響的是教師數學概念上理解的實力和教師們產生有意義的例子、解釋和過程的能力。 在對照中，很多學生被期待在沒有伴隨著其他三種運算一起出現的概念發展階段的情況下，就能掌握除法，因為他們已經有相當多的符號表徵經驗。(Anghileri 1996;NCTM 2000)當在使用除法表述(Anghileri 1999)或在計算中解釋餘數(Simon 1993)時，他們常常沒察覺順序的重要性，而這些地方導致他們在閱讀除法時感到相當大的困難。對除法概念的理解不夠充分地發展也致使學生計算不切實際的答案，然後也不去分析研究他們的結果。(Simon 1993) 類似那些Ma針對其他數學主題所做的研究，一項教師和他們學生在除法上理解力的研究，可能讓我們在導致學生對於除法和其應用上產生困難的原因有更深入了解。 研究 來自兩年的七年級班級共47位學生和他們的老師參加了由十個項目所組成的六個除法問題的紙筆測驗，在沒有時間限制下，他們被要求解所有的題目。接著，六位來自不同班級的學生和他們的教師，接受了針對他們在測驗中的答案和對除法的了解所做的訪談。在由學校大部分教職員出席的專業發展會議期間，這兩個班級分別參加了一年研究。以前這些施測教師使用一種稱作Divide Multiply Subtract bring down一般稱作DMS bring down的步驟來教除法的運算規則。接著第一階段的專業發展被帶領著在學校裡主要藉由遊戲的使用和使用具體物來表徵的除法分享以獲得概念上理解的發展。這份報告就在六個題目之中以鑑定透過詮釋問題、包含內部零的完整的運算以及解釋引出問題解答的結果，來解決文字問題的能力為目的的兩個問題所得到的回應提出報告。這兩個問題是： Q5：當Movie World 開辦荒野西部旅行，有6