第三章第二节(1965KB).pptVIP

其中 是X,Y的联合密度， 几乎处处成立，则称X,Y相互独立 . 对任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是连续型r.v ，则第一部分独立性的定义等价于： 这里“几乎处处 成立”的含义是： 在平面上除去面 积为0的集合外， 处处成立. 分别是X的 边缘密度和Y 的边缘密度 . 求 P(X1|Y=y) 例5 设(X,Y)的概率密度是 解: P(X1|Y=y) 为此, 需求出 由于 于是对y0, 故对y0, P(X1|Y=y) 例6 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率 密度为 求 解：X的边缘密度为 当|x|1时,有 即 ：当|x|1时, 有 X作为已知变量 X已知下Y 的 条件密度 这里是y的取值范围 例 7 设店主在每日开门营业时,放在柜台上的货物量为Y,当日销售量为X,假定一天中不再往柜台上补充货物,于是X≤Y.根据历史资料,(X,Y)的概率密度函数为 求:(1).给定Y=y条件下,X的条件概率密度. (2).假定某日开门时,Y=10件,求这天顾客买走 X≤5件的概率. (3).如果Y=20件呢? 解: :(1). ∴ y?(0,20] 时 fY(y)0. (2)Y=10时,顾客买走X≤5件的概率为 (3)Y=20时,顾客买走X≤5件的概率 这表明货物销售量X与放在柜台上的货物量Y的关系是很密切的. 例8 设 的概率密度为 (1) (2) 问 和 是否独立? 解 (1) 即 因对一切 均有: 故 独立. (2) 由于存在面积不为0的区域, 使 故 和 不独立. 即 例如x=2/3,y=1/2时，f(x,y)=0, 但是 例9 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？ 解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 以12时为起点,以分为单位,依题意, X~U(15,45), Y~U(0,60) 所求为P( |X-Y | 5) 及P(XY) 解: 设X为甲到达时刻， Y为乙到达时刻 以12时为起点，以分为单位，依题意， X~U(15,45), Y~U(0,60) 甲先到 的概率 由独立性 先到的人等待另一人 到达的时间不超过5分钟 的概率 解一： P(| X-Y| 5) =P( -5 X -Y 5) =1/6 =1/2 P(XY) 解二： P(X Y) =1/6 =1/2 被积函数为常数， 直接求面积 =P(X Y) P(| X-Y| 5) 类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率. 在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰. 求发生两信号互相干扰的概率. 把长度为a的线段在任意两点折断成为三线段，求它们可以构成三角形的概率. 长度为a 例10 设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到 X=x (0x1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y 的概率密度. 解：依题意，X具有概率密度 对于任意给定的值x(0x1)，在X=x的条件下，Y的条件概率密度为 X和Y的联合密度为 于是得Y的概率密度为 已知边缘密度、 条件密度，求 联合密度 例11 设 (1) 求 和 (2) 证明 与 相互独立的充要条件是 解 (1) 故在 的条件下, 服从正态分布 对称地, 在 的条件下, 服从正态分布 比较 与 的密度函数 与 易知: 即, 当且仅当 时, 与 相互独立. 下面我们仅给出比较的充分性说明，必要性显然。 “?” ∵X和Y相互独立 ∴ ?(x,y)? R2.有 f(x,y)= fX(x)fY(y) 对比两边 ∴ ?=0 特别,取 x= ?1 , y= ?2 代入上式有 f(?1, ?2)= fX(?1)fY(?2) 即: 前面，我们已经知道，二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布. 对二维正态分布，已知 X=x下，Y 的条件分布，或者已知 Y=y下，X的条件分布都仍是正态分布. 二维正态分布 再看 小结 这一节，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布. 另外，我们由两个事件相互独立的概念