5.6正定二次型.pptVIP

§5.6 正定二次型 一、惯性定理 二、正(负)定二次型的概念 三、正(负)定二次型的判别 * 返回 1.惯性定理 2.正(负)定二次型的概念 3.正(负)定二次型的判别 　　一个实二次型,既可以通过正交变换化为标准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形.其标准形不是唯一的,但标准形中所含项数是确定的,等于二次型的秩. 且二次型f的标准形中正平方项的个数(称为f的正惯性指数)和负平方项的个数(称为负惯性指数)也是不变的,而且二次型f的正惯性指数与负惯性指数之和等于f的秩 定理11(惯性定理) 设实二次型f=X ?AX的秩为r,有两个实可逆变换X=PY及X=CZ,使 f=?1y12+?2y22+???+?ryr2 (?i?0) f=k1z12+k2z22+???+krzr2 (ki?0), 则?1,?2,???,?r中正数的个数与k1,k2,???,kr中正数的个数相等. 定理说明实二次型f的矩阵A与对角矩阵相合,该对角矩阵主对角线上的正元素的个数等于f的正惯性指数,负元素的个数等于f的负惯性指数. 从而进一步有A与?0相合 若f的正惯性指数为p,秩为r,则f的规范形为: f=y12+???+yp2?yp+12?????yr2 定义12 设有实二次型f=X ?AX,如果?X?0,都有f 0,则称f是正定二次型, A是正定矩阵;如果?X?0,都有f0,则称f是负定二次型, A是负定矩阵. 正定二次型 负定二次型 例如, f=x2+4y2+16z2 f= ?x12?3x22 判别法1: 用定义 例1 设A,B均为n阶正定阵,证明A+B也为n阶正定阵 [证] ∵A,B为n阶正定阵 ∴?X?0,有X ?AX0, X ?BX0 ∴X ?(A+B)X ∴A+B为n阶正定阵 0 =X ?AX+X ?BX 判别法2: 用标准型 定理12 n元实二次型f=X ?AX为正定的?f的正惯性指数为n [证] 设可逆变换X=PY,使 f=X ?AX=k1y12+k2y22+???+knyn2 充分性: 已知ki0 (i=1,2,???,n) 则?X?0,有Y=P?1X?0 故f=X ?AX=k1y12+k2y22+???+knyn20 P可逆, 必要性: 反证法 设有ks≤0 取Y=es (单位向量), =ks 与f正定矛盾 ∴ ks0 (s=1,2,???,n) 则X=Pes ?0 故f=X ?AX=k1y12+k2y22+???+knyn2 ≤0 即f的正惯性指数为n 定理说明实二次型f正定的充要条件是f的矩阵A与主对角线上的元素全为正数的对角矩阵相合 判别法3: 用特征值 推论1 实二次型f=X ?AX正定?A的特征值全为正 推论2 实对称矩阵A正定?存在可逆矩阵P,使P ?AP=E 说明:正定的对称矩阵与单位矩阵相合 推论3 正定矩阵的行列式大于零 A正定? A与E相合 ?A=Q ?EQ =Q ?Q ?|A|=|Q ?Q| =|Q|2 0 例2 设A为正定阵,证明A?1, A*都是正定阵 [证] ∵A为正定阵 ∴A的特征值全大于零 ∴A?1, A*的特征值全大于零 ∴A?1, A*都是正定阵 * 返回