2011线性代数期末模拟试题I.docVIP

线性代数试题 一、填空（本题共5小题，每小题3分，共15分） 设，，则--------------。 若，则--------------------。 阶矩阵的第一行与第一列的元素均为1，其余元素全为0，则---------------------。 已知三阶方阵的特征值分别为，则-------------------。 线性方程组的基础解系中元素个数为-------------------。 二、单项选择（本题共5小题，每小题3分，共15分） 行列式中的代数余子式为-------------。 （A） ； （B） ； （C） ；（D） 。 2．设为同阶可逆方阵，则的逆为----------------。 （A） ；（B） ；（C） ；（D） 。 3．若向量，，线性相关，则---------------。 （A） ；（B） ；（C） ；（D） 。 4．设矩阵，则的属于特征值的特征向量为----------------。 （A） ；（B） ；（C） ；（D） 。 5．二次型是---------------------。 （A）正定二次型 ；（B）负定二次型 ； （C）半正定二次型 ；（D）不定二次型。 得 分 三、计算（本题共6小题，每小题6分，共36分） 1．求行列式的值。 2．求行列式的值。 3．设，且，为三阶矩阵，求。 4．求矩阵的特征值，并求绝对值最小的特征值所对应的全部特征向量。 5．设，求矩阵的秩。 6．设向量，，用施密特正交化方法，求一个规范正交基。 四、证明（本题共3小题，每小题7分，共21分） 1．设为非齐次线性方程组的一个解，为对应齐次线性方程组的基础解系，证明向量组线性无关。 2．若阶方阵满足，证明。 3．若都是阶可逆矩阵，且相似，则与也相似。 五、综合（本题共1小题，共13分） 取何值时，方程组有唯一解、无穷解、无解，有解时求出解。 线性代数试卷参考答案及评分标准 填空（每小题3分，共15分） 1．24；2． ；3．2 ；4．；5．4。 单项选择（每小题3分，共15分） 1．（A）；2．（C）；3．（A）；4．（B）；5．（A）。 计算（每小题6分，共36分） 1．解：原式 （5） 。 （6） 2．解：原式 （4） 。 （6） 3．解： ，，。 （4） 故 。 （6） 4．解： ， 特征值为 。 （3） 当特征值为0时，有 ， 同解方程组为 ， 通解为 。 （6） 5．解： （4） ，秩为4。 （6） 6．解：正交化：， 。 （4） 单位化： ，。 （6） 四、证明（每小题7分，共21分） 1．证明，反证，若线性相关， 即存在不全为零的数，使得 （2） 则，否则由于为基础解系，将导致 ，与假设矛盾； 若成立，又有 成立，即为的解，与已知矛盾。 （7） 2．证明：设，由 有 ，即为方程组的解。 （4） 设 ，则的基础解系中向量个数为，即 ， 从而 。 （7） 3．证明：若 相似，存在可