华东政法学院2006-2007学年第一学期期末考试12.docVIP

华东政法学院商学院2006年级所有专业 《高等数学》试卷A标准答案 一、填空题（每小题2分，共20分） ① e ② 3 ③ sin2x ④n! ⑤ ⑥ ⑦ 0 ⑧ ⑨ 8a ⑩fesiny-f 二、选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，每小题2分，共20分） ① C ② D ③ D ④ A ⑤ B ⑥ A ⑦ C ⑧ D ⑨ D ⑩ C 三、计算题 (每小题5分，共40分) 求极限 解： ―――2分 ―――3分 （2）求极限 解：= ―――3分 = ―――2分 （3）求函数的单调区间、极值、凸凹区间、拐点。 解：=24x-12x; 的零点为x=0和 的零点为x=0和 ――2分 增区间，减区间 函数在x=2取得极大值，极大值为20 凸区间，凹区间， 函数拐点为和(,) ――3分 （4）计算不定积分 解( 作变换( 则有( ( ――2分 ――3分 （5）计算定积分 解： =|cox|dx ――3分 =cosxdx －cosxdx = ――2分 (6) 设在[]内上连续，在()内可导( ),应用柯西中值定理证明: 在(a,b)内存在一点，使 ] 证明：设函数：G（x）＝，F(x)= 则F（x）和G（x）在〔a，b〕上连续，在（a，b）内可导，由柯西中值定理可得到： ――2分 (a 即： － =(－)(f() 方程两边同乘以ab得: ] ――3分 (7) 设z=z(x,y)由方程x2+y2+z2=y f()确定，且f可微， 求证：(x2-y2-z2) +2xy=2xz 解：方程各项分别对x和y求导得: ―――2分 ―――2分 所以: (x2-y2-z2) +2xy= 2xz ―――1分 （8）利用极坐标计算二重积分，其中为所围成的闭区域。 解： 原式＝ ――3分 ＝ ＝[sin|＝2－ ―――2分 四、综合题 （共为10分） 已知抛物线与直线y=围成一平面闭图形 求此平面图形面积；（3分） 求此图形绕y轴旋转而成的旋转体体积；（3分） 以此平面图形为积分区域D，求二重积分。（4分） 解： 先计算两个交点(1,-1)和(4,2),则: 平面图形面积S==4.5 ―――3分 绕y轴旋转：=14.4 ―――3分 3、 ―――4分 五、经济应用题 （每小题5分，本题共10分） 某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告。根据统计资料，销售收入（百万元）与报纸广告费用（百万元）和电视广告费用（百万元）之间的关系有如下的经验公式： ⑴ 如果不限制广告费用的支出，求最优广告策略。 ⑵ 如果可供使用的广告费用为150万元，求相应的最优广告策略。 解 ⑴ 设该公司的净利润为 ―――1分 令 得驻点（百万元），（百万元）。 ―――2分 又 ，，， 所以，在点处，有 ，。 所以，函数在处有极大值，因极大值点唯一，故在处也是最大值，即最优广告策略为报纸广告费为75万元，电视广告费为125万元。 ―――2分 ⑵ 如果广告费限定为150万元，则需求函数在条件下的条件极值。设 ―――2分 解方程组 得，。根据问题的实际意义，在点处有条件极值。即将广告费全部用于电视广告，可使净利润最大。