第5讲数学的几大奇观课件(270KB).pptVIP

微积分的伟大意义在于： 1、微积分改变了数学的研究对象、方式和方法，带来了数学空前和持久的繁荣昌盛！显示了数学内部的辨证统一的深刻哲理。 2、推动了自然科学、工程技术、社会科学的发展。有了微积分，它就成为了物理学的基本语言。其他如力学、天文学、化学等学科都得到了无限的推动力。近代的生物学、地理学、经济学、社会科学等都离不开数学。 3、对人类物质文明作出了巨大贡献。数学方法的应用和更新，通过其他学科对人类的进步产生了前所未有的作用：工业革命、人造卫星、新星的发现、经济规律、金融运作等等。 4、对人类文化产生了革命性的影响。只要研究变化规律就要用到微积分，在人文、社会科学领域也是如此。哲学（马克思、恩格斯）、经济学、考古学、社会学、心理学、语言学、法学......它们直接影响着人们的世界观和文化结构。 一个遗憾的事：几乎所有的大学生不知道非欧几何，甚至数学类专业的本科生（包括部分大学数学教师）也是如此。 今天我们试图来弥补这个遗憾，来了解影响和改变世界的非欧几何。 欧氏几何在公元前300年就已产生，起特征是建立了公理化方法：即从几个概念和几个命题，演绎出本学科其它所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌。运用这种方法的学科被认为是严谨的科学和成熟的科学。 欧氏几何的公理体系出现在欧几里德的《集合原本》中，在其之后的2200后，希尔伯特在《几何基础》加以完善。其间，许多数学家作了许多公理体系的完备性工作。 然而，令人放心不下的是该公理体 系中的第五公理，即平行公理的独立性问题。因为人们发现即使欧几里德本人也尽量避免使用它。所以人们开始从三个方面研究平行公理。1、试图给出新的平行线定义以绕开这个困难； 2、试图用比平行公理缺点更少的其他公理取代它；（等价或包含） 3、试图用其他公里推出它。 第三个问题得到的最多的研究，但是毫无结果。 在用反证法研究第三个问题时，试图推出矛盾，但是没有。实际上，反证法就是假设与第五公理不成立。第五公理是说： 过已知直线外一点，可作一条也只可作一条直线与已知直线平行。 19世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯基在否定第五公理的同时，假设其反面之一：“过已知直线外一点，可作多于一条的直线与已知直线平行”，得到了一系列定理，并且认为他得到了一门新的几何学。这是过去2000年以来的重大突破。 罗巴切夫斯基1826年2月11日宣布自己建立了新的几何学之后，得到了许多数学大家的嘲笑、讽刺，德国诗人歌德也出来讽刺他。实际上，罗巴切夫斯基的理论得到世界的认可是在他去世几十年后的事了. 在罗氏几何产生后的1854年，德国数学家黎曼把欧氏第五公理改为：“过已知直线外一点，没有与其平行之直线”，得到的一种新的几何学——黎曼几何，为非欧几何的另一翼。 绝对几何 欧氏几何 罗氏几何 黎曼几何 联系公理 迭合公理 顺序公理 连续公理 非欧几何的产生具有三个重大意义: 1、解决了平行公理的独立性问题。推动了一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展。 2、证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动了科学，从而推动了社会的发展和进步。在数学内部，各分支纷纷建立了自己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在20世纪30年代 建立自己的公理体系。实际上公理化的研究又孕育了元数学的产生和发展。 3、非欧几何实际上预示了相对论的产生，就象微积分预示了人造卫星一样。非欧几何与相对论和汇合是 科学史上划时代的事件。人们都认为是爱因斯坦创立了相对论，但是，也许爱因斯坦更清楚，是他和一批数学家Poincare,Minkouski, Hilbert等共同的工作。出现动钟延缓，动尺缩短，时空弯曲等现象。这些都是非欧几何与相对论的科学发现。 非欧几何的模型。复变函数理论。 非欧直线 非欧距离、非欧角、非欧圆、非欧三角形...，非欧三角形内角和小于180度；不存在非欧矩形。 数学史的发展和其它学科有着许多相同的地方，即存在许多奇异的想法或追求完美的理想，其原因在于或者理论知识发展的局限性，或者社会制度、宗教等的因素。但是这些思想的出现对于推动数学的进步是积极的。 在中学我们就知道，几何作图严格局限于圆规和无尺度直尺。这种限制从古希腊一直延续至今。 为什么？ 古希腊认为，所有图形都是由直线和圆弧构成的，圆是最完美的图形。他们确信仅靠圆规和直尺就可以绘出图形来。他们还认为，依据少量假设，通过逻辑把握的东西最可靠。 如求线段AB的中点步骤为： 1、以A为圆心，以一适当的长度为半径画弧； 2、以B为圆心，以同样长度的半径画弧； 3、两弧交于两点，作两点连线，其与AB的交点即为AB的中点。 人们很快找到了正三、四、五、六边形的尺规作图的方法，然而在正七边形的尺规作图时，一直研