[数学]级数与反常积分论文.doc

本科毕业论文（ 设计） 摘 要 通过对微积分中级数与反常积分收敛判别法的总结，进一步认识和理解级数和反常积分之间的关系、级数在数学计算中方面的应用 .对于级数主要通过研究数项级数、幂级数的相关定义、概念、性质的认识，并掌握如何用比较判别法、根式判别法、拉贝判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等方法来判别级数的收敛性，用类似的方法来研究反常积分中无穷积分和瑕积分的收敛性 .最后着重通过级数与反常积分的理论、性质来探讨级数在数学计算中的实际应用 . 关键词：级数 ；反常积分；幂级数； Abstract The calculus in series and abnormal integral convergence are summarized, further understanding of the relationship between series and improper integral, series in mathematical computing applications. The series is mainly through the study of the infinite series, power series of related definitions, concepts, properties, and learn how to use comparative method, the root test, Raabe discriminant method, Abel method, Dirichlet dilichlet discriminance method to judge the convergence of a series, in a similar way to the study of abnormal integral infinite integral and improper integral convergence. Lastly the paper through the series and abnormal integral theory, properties of series in mathematics calculation in practical application. Key words: Series; convergence of abnormal integral; 目 录 摘 要 I Abstract II 目 录 III 引言 1 1 级数与反常积分 1 1.1 级数与反常积分定义 1 1.2 级数与反常积分的重要定理 2 1.3 级数与反常积分的性质 2 2 级数与反常积分的收敛性 3 2.1 数顶级数的敛散性判别 3 2.2反常积分 7 2.2.1用收敛定义计算反常积分 8 2.2.2反常积分的敛散性的判别法 9 2.2.3数项级数与反常积分的关系 12 3 幂级数在数学计算中的应用 15 3.1利用级数求定积分的值 15 3.2利用级数求递归数列的通项 18 3.3级数的求和问题 21 参考文献 24 谢辞 25 引言 级数和反常积分是微积分学中的重要内容，微积分又是以极限为工具来研究数学内容的 .数学分析也叫微积分学它是在17世纪中叶由牛顿和莱布尼茨创立，由麦克劳林、泰勒、达郎贝尔、拉格郎日等数名数学家，历经200多年的发展和完善直到19世纪末才形成现今我们说的数学分析主要内容 .对于级数主要包括数项级数、交错级数、函数项级数、幂级数以及傅里叶级数等主要内容；反常积分也称广义积分主要包括无穷积分和瑕积分两方面内容；反常积分是学习了定积分后又一新的内容，是对定积分的进一步推广，反常积分打破了定积分的区间有穷性和被积函数的有界性限制，反穷积分主要研究的是无穷区间上的“积分”问题，瑕积分主要研究的是无界函数的积分问题 .它们的共同点都是以极限为工具转化为我们熟悉定积分问题进行研究的 . 1 级数与反常积分 本小结主要介绍级数与反常积分的相关概念和定义，通过对数项级数、无穷积分、瑕积分以及幂级数的介绍使人们对级数与反常积分的相关知识作以初步认识 . 1.1 级数与反常积分定义 定义1.1.1给定一个数列，对它的各项依次用“”号连接起来的表达式： （1） 称为数项级数（也常简称级数），其中称为数项级数（1）的通项.数项级数(1)也常写作：或写作. 定义1.1.2级数(1)的部分和数列收敛于(即)则称级数(1)收敛,称为级数(1)的和,记作: