[数学]第二章第二节函数的求导法则2-2.pptVIP

二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式 思考和练习题 思考题解答 正确地选择是（3） 例 在 处不可导， 取 在 处可导， 在 处不可导， 取 在 处可导， 在 处可导， 练 习 题 S D S D 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 一、函数的线性组合、 积、商的求导法则 第二节 函数的求导法则 第二章 一、函数的线性组合、积、商的求导法则 定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 证: 设 , 则 故结论成立. (2) 证: 设 则有 故结论成立. 推论: ( C为常数 ) (3) 证: 设 则有 故结论成立. 推论: ( C为常数 ) 例1 解 例2 解 例3 解 例4 解 同理可得 . tan 的导数 求 x y = 即 . sec ) (tan 2 x x = ￠ 例5 解 同理可得 . sec 的导数 求 x y = 即 (secx)? = secxtanx 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 定理2 证 于是有 , x I x ? 任取 x x D 以增量 给 ) , 0 ( x I x x x ? D + 1 D 例6 解 同理可得 . arcsin 的导数 求函数 x y = , ) 2 , 2 ( sin 内单调、可导 在 p p - = = y I y x ∵ , 0 cos ) (sin = ￠ y y 且 内有 在 ) 1 , 1 ( - = \ x I 即有 (arcsinx)? . 1 1 ) (arccos 2 x x - - = ￠ 例7 解 同理可得 即有 例8 特别地 . log 的导数 求函数 x y a = 解 , ) , ( 内单调、可导 在 +￥ -￥ = = y y I a x ∵ , ) , 0 ( 内有 在 +￥ ? \ x I 即有 ) (log ￠ a x , 0 ln ) ( 1 = ￠ a a a y y 且 定理3 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链导法则) 证 ) 0 lim ( ) ( 0 = + ￠ = D D ? D a a u u f u y 故 u u u f y D + D ￠ = D a ) ( 0 则 例如, 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例9 解 ) ( ) ( 0 0 0 x u f dx dy x x g ￠ ? ￠ = = 例10 解 例11 解 例12 解 例13 解 推广 ), ( ), ( ), ( x v v u u f y y j = = = 设 dx dv dv du du dy dx dy ? ? = )]} ( [ { x f y = 的导数为 则复合函数 y j 例14 解 例15 1.常数和基本初等函数的导数公式 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), ( x v v x u u = = 可导，则 （ 1 ） v u v u ￠ ￠ = ￠ ) ( , （ 2 ） u c cu ￠ = ￠ ) ( （ 3 ） v u v u uv ￠ + ￠ = ￠ ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 1 ￠ - ￠ = ￠ v v v u v u v u . ( 是常数) 3.反函数的求导法则 ) ( 1 ) ( y x f j ￠ = ￠ 定理 , ) ( , 0 ) ( ) ( I x f y y I y x x y j j = 1 ￠ = 且有 内也可导 在对应区间 那末它的反函数 且 内单调、可导 在某区间 如果函数 4.复合函数的求导法则 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数. 例 解 ). ( , 0 ), 1 ln( 0 , ) ( x f x x x x x f ￠ ? í ì 3 + = 求 设 , 0 时 当 x , 0 时 当 x , 0 时 当 = x 注意: 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 小结 求曲线 上与 轴平行的切线方程. 思考和练习题 令 切点为 所求切线方程为 和 S D