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系统的微分方程及其响应 我们常用系统的输入-输出特性常系数微分方程描述线性时不变系统(LTI)。这里主要以电路系统为例来建立系统的微分方程，以描述系统输入及输出的关系。描述电路系统方程应是满足电路理论的基尔霍夫电压和电流定律（KVL、KCL）及元件自身的约束关系--伏安关系（VAR），及电路中节点和回路关系： 对于任一节点则有 KCL： 对于任一回路则有 KVL： 对于简单物理系统，同样可以建立类似的微分方程(或P.25 例1.5-1) 微分方程的经典解(参看P.78) 系统的零输入响应（ZIR）和零状态响应（ZSR） 系统的响应应为两部分响应之和，即零输入响应与零状态响应的叠加，其中零输入响应是指：外界激励 ，系统靠初始储能所维持的响应即 。而零状态响应是指：系统初始储能 ，系统靠外界激励 来维持响应。显然不管什么性质的响应都需靠能量来维持。因此不妨将零输入响应看成是一种系统内部特殊 “电源”作用下的响应，即将初始状态等效成理想电压源或理想电流源。由此可知系统的全响应是外部激励及内部“特殊”电源共同作用的结果，是零输入响应与零状态响应的叠加的结果。 1、零输入响应（Zero_Input Response） 2、零状态响应（Zero_State Response） 阶跃响应 2.2 卷积及其应用 即： 例: 当 0 t 3 时： 当 t 3 时： 则： 性质3 卷积的微分和积分 （1）微分： 推广： 性质4 卷积时移 应用时移特性 例如： 例： 3）时移 所以： 2.4.4系统零状态响应的卷积分析法 卷积积分的再现性 当单位冲激信号 与任意信号 进行卷积运算时，将满足下列卷积积分的再现性质。 推论： 利用卷积的微分与积分性质可得， 思考题 采用常微分方程解决系统的响应时，其零输入响应解的形式是否就是微分方程齐次解的形式。 已知的 初始状态是否等于 的初始值？为什么？ 系统单位冲激响应 的物理含义是什么？为什么要引入单位冲激响应 ？如何理解它与系统的关系。 系统零状态响应的物理含义。为什么要通过单位冲激响应来定义系统零状态响应？ (1) f(t) 与δ(t)的卷积等于 f(t) 本身 性质2 f(t)与奇异信号的卷积 证： 抽取特性 （2）f(t)与δ′(t)的卷积等于 f(t) 的导函数 证： 证： (3) f(t) 与ε(t) 的卷积等于信号 f(t) 的积分 （1）微分： 则： （2）积分： （3）微积分： 证： 同理： 微积分性质的条件： 被求导的函数在 处为0， 被求积分的函数在 区间上的积分值为0。 或： 其中： 正整数： 导数的阶数； 负整数： 重积分的阶数； 则： 解： 由卷积定义， 得： 计算常数K与信号f(t)的卷积积分 K 不为0 计算下列卷积 由于： 复制平移特性： 应用δT(t) 产生周期信号 方法一：图解法 2）翻转 1）自变量 t 换成 x 4）确定不同的积分区间 当 t 逐渐增大： 只要： 继续增大 t ： 继续向右平移。 继续增大 t ： 继续向右平移。 继续增大 t ： 继续向右平移。 只要： 方法二 应用卷积的性质 常用信号的卷积公式（P56） 假定系统的输入信号f(t)和冲激响应h(t)已知,那么就可以利用卷积确定系统的零状态响应: 容易得到 * 第二章 连续系统的时域分析 教学要求： 1、掌握连续系统时域模型的数学描述方法； 2、学会描述系统激励与响应关系的微分方程；了解系统的特征方程、特征根的意义； 3、深刻理解系统单位冲击响应和阶跃响应； 4、深刻理解系统全响应的三种分解方式：零输入响应与零状态响应；自由响应与强迫响应；瞬态响应与稳态响应 5、牢固掌握卷积积分的运算规律、主要性质，会求卷积积分； 6、会应用卷积积分的方法求线性时不变系统的零状态响应。 教学重点： 1、微分方程及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲击响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。 系统的微分方程 电路元件模型 同时我们也必须掌握电系统中常用电路元件模型关系： 例如：下图是一典型的线性系统，电路可列写微分方程。 由KCL得到： 由KVL得到： 根据电路元件特性VCR可以知道： 综合上述各式可以得到： + Uc - 物体质量m，弹簧弹性系数为 物体与地面摩檫系数为 用微分方程表示物体在外力f(t)作用下的位移y(t): 运动物理惯性力： 摩擦力： 弹簧产生的恢复力： 四力平衡