三角形形状与西摩松线及三尖内摆线之关系探讨.PDFVIP

三角形形狀與西摩松線及三尖內擺線之關係探討 研究者：王翊蕙 馬正芯 陶佳妤 指導者：王嘉慶 老師 壹、緒論 一、研究動機 我們平常對幾何就特別有興趣，後來在一本關於幾何問題的書籍中，看到 了關於西摩松線的單元。因為平常接觸到的都是三角形的基本五心，而西摩松 線是我們之前不曾接觸圓與三角形的領域，覺得非常新奇，所以決定做深入的 研究。 二、研究目的 藉由微分座標平面上西摩松線的方程式 ，嘗試推導出三尖內擺線方程式。 並討論不同三角形形狀與其三尖內擺線的關係 。 三、研究問題 （一）推導座標平面上西摩松線的方程式及其三尖內擺線方程式 （二）探討三角形形狀與西摩松線移動路徑及P 點關係 （三）探討三角形形狀與三尖內擺線移動關係 貳、文獻探討 一、相關作品分析 作品名稱 得獎獎項 作品特色 圓來如此─西 2011 年臺灣國際科 推廣西摩松線的定義，以基本幾何探討 姆松「圓」的 學展覽會 三等獎 多邊形、九點圓等與西摩松圓的關係 研究 二、我們的作品與特色 以西摩松線的包絡線─三尖內擺線為主軸，利用微積分、繪圖軟體觀察及 實際演算等方法，期望探討出三尖內擺線與原三角形形狀、各點位置的關係。 參、研究方法與步驟 一、名詞定義 （一）西摩松線(在以下所有圖中表示為simson) 給定一個三角形ABC 做其外接圓O ，圓O 上任一點P 對三角形三邊長做 垂線，其三垂足A’ 、B’ 、C’共線，此線即為西摩松線。以下為三點 37 共線證明：(如圖 1-1) 連接PB 、PC ，∵∠BA’P=∠AC’P=90°，故B 、A’ 、P 、C’四點共圓， 所以∠BA’C’等於∠BPC’ 同理C 、B’ 、A’ 、P 四點也共圓，所以∠B’A’C 等於∠B’PC 在ΔBC’P 和ΔCB’P 中，∠BC’P=90°=∠CB’P ，又∠ABP+∠PBC’=180 °，且∠ABP+∠PCA=180° 故∠PBC’=∠PCA ，∴∠BPC’=∠B’PC ∴∠BA’C’=∠B’A’C ∵∠BA’C’+∠C’A’C=180° ∴∠B’A’C+∠C’A’C=180° ∴A’ 、B’ 、C’三點在同一條直線上 （二）三尖內擺線 如圖 1-2 ，當P 為動點時，則西摩松線的包絡線即為三尖內擺線。 圖1-1 圖1-2 二、座標平面上西摩松線的方程式推導及其三尖內擺線方程式 （一）一般三角形 2 2 如圖2-1，不妨設ΔABC 外接圓為x +y =1 ，且C=(1,0) ，令A=(cos α,sin α) 、B =(cos β,sinβ) 、P=(cos θ,sinθ) ，可得 ： ( ) ( ) 1+cosβ−cos β−θ −cosθ (1−cosβ) [1+cosβ−cos β−θ +cosθ] A’=(