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高等数学作业 AⅡ 答案 吉林大学公共数学教学与研究中心 2013年3月 第一次作业 学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题 1．下列反常积分收敛的是( C )． （A）； （B）； （C）； （D）． 2．下列反常积分发散的是( A )． （A）； （B）； （C）； （D）． 3．设、在上连续，则由曲线，，直线所围成平面图形的面积为( C )． （A）； （B）； （C）； （D）． 4．设曲线与直线所围图形面积为S，则下列各式中，错误的是 ( C )． （A）； （B）； （C）； （D）． 5．设点是曲线上一点，记是直线OA（O为原点）与曲线所围成图形的面积，则当时，与( D )． （A）为同阶无穷小； （B）为同阶无穷小； （C）为同阶无穷小； （D）为同阶无穷小． 6．设（常数），则由所围图形绕直线旋转所形成的立体的体积等于( B )． （A）； （B）； （C）； （D）． 二、填空题 1．已知反常积分收敛，且值为1，则． 2．． ３．． ４．反常积分，当满足条件时收敛． 5．由曲线所围成的平面图形面积为 1 ． 三、计算题 1．用定义判断无穷积分的收敛性，如果收敛则计算积分值． 解： 则该无穷积分收敛． 2．判断反常积分的收敛性： 解： 而收敛． 收敛． 3．用定义判断反常积分．的收敛性，如果收敛则计算积分值． 解：．收敛 4．求由曲线与围成图形的面积． 解：． 5．计算由轴，曲线及其经过原点的切线围成的平面图形绕轴旋转所生成立体体积． 解：设切点为，则过切点的切线方程为 令，得． 6．求摆线的一拱的长度以及摆线与轴所围图形的面积． 7．在曲线上某点A处作一切线，使之与曲线以轴所围图形的面积为，试求： （1）切点A的坐标； （2）过切点A的切线方程； （3）由上述所围平面图形绕轴旋转一周所围成旋转体体积． 解：设切点，则切线方程为： ， 得切线与x轴交点为． 由，得． ∴切点为，切线方程： ． 8．半径为的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？ 解：取球浮出水面后球心为原点建立坐标系，则 第二次作业 学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题 1．平面（ A ）． （A）平行于yoz平面； （B）平行于x轴； （C）平行于xoz面； （D）平行于xoy平面． 2．平面与曲面（ B ）． （A）不相交； （B）交于一点； （C）交线为一个椭圆； （D）交线为一个圆． 3．方程所表示的曲面为（ C ）． （A）椭球面； （B）柱面； （C）双曲抛物面； （D）旋转抛物面． 4．过点且与平面垂直的直线方程是（ A ）． （A）； （B）； （C）； （D）． 5．设有直线与，则L1与L2的夹角为（ C ）． （A）； （B）； （C）； （D）． 6．设有直线及平面，则直线L（ C ）． （A）平行于； （B）在上； （C）垂直于； （D）与斜交． 二、填空题 1．设均为非零向量，且，则a与b的夹角为． 2．与直线平行的单位向量为． 3．点到平面的距离为 1 ． 4．若，，且a，b间夹角为，则， 3 ． 5．xoz平面上的曲线绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为． 6．曲线在xoy面上的投影曲线方程为． 7．已知向量a，b，c两两相互垂直，且，，，则有 2 ． 三、计算题 1．求过直线，且平行于直线的平面的方程． 解：过L的平面束为： 即，由n与垂直，有 ∴ 所求平面为． 2．求点到直线的距离． 解：设 则 ∴ 3．设空间三点，，，求三角形ABC的面积． 解： 4．求过平面和平面的交线，并切于球面的平面方程． 解：过L平面束为． 即． 由 得 则所求平面为． 5．设有直线，平面 求直线L与平面的夹角；如果L与相交，求交点． 解：L的方向向量 而 ∴ ，∴ 将代入L方程．解得 ∴ 交点． 6．模长为2的向量与轴的夹角是，与轴的夹角是，试求向量的坐标． 解： ∴ ， 或 ∴ 或 第三次作业 学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题 1．（ D ）． （A）； （B）0； （C）； （D）不存在． 2．二元函数在处（ C ）．