函数的连续性66829.pptVIP

根据定理3,求复合函数 复合函数的连续性 例: 的极限时, 极限符号与函数符号 f 可以交换次序,即 初等函数的连续性 定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 例:求 例:求 连续 最大值和最小值定理 定理5(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 最大值和最小值定理 定理6(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 定义 如果 x0 使 f (x0) = 0, 则称 x0 为函数 f (x) 的 零点. 例:函数 为此函数的零点. 零点定理 零点定理 定理7(零点定理)设函数 f (x) 在闭区间 [a , b]上 连续,且 f (a)与 f (b) 异号,那么在开区间 (a , b)内 至少有函数 f (x) 的一个零点,即至少有一点 使得 零点定理 内至少存在 例:证明 在 一个实根. 内至少存在 例:证明 在 一个实根. 介值定理 介值定理 设函数 f (x) 在闭区间[a , b]上连续,且 在这区间的端点取不同的函数值 那么,对于 A 与 B 之间的任意一个数 C, 在开区间 及 (a , b) 内至少有一点 , 使得 推论1 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M 与最小值 m 之间的任何值. 介值定理 ξ kexi 克西 函数增量的概念 设变量 u 从它的一个初值 u1 变到终值u2, 则称 u2 与初值u1 的差 u2 - u1 为变量 u 的增量(改变 量), 记作 Δu 即 增量 Δu 可以是正的,也可以是负的. 函数增量的概念 定义1 设函数 y = f (x) 在点 x0 的某一领域内有 定义.当自变量 x 在 x0 处取得增量Δx (即 x 在这 个领域内从 x0 变到 x0 + Δx 时), 相应地,函数 y = f (x) 从 f (x0) 变到 f (x0 + Δx), 则称 为函数 y = f (x) 的对应增量. 连续函数的概念 定义2 设函数 y = f (x) 在点 x0 的某一领域内有定 义.如果当自变量在点 x0 的增量 Δx 趋于零时,函数 y = f (x) 对应的增量 Δy 也趋于零,即 或 则称函数 f (x) 在 x0 处连续,称 x0 为 f (x) 的连续点. 注:该定义表明,函数在一点连续的本质特征是:自 变量变化很小时,对应的函数值的变化也很小. 连续函数的概念 定义3 设函数 在点 的某一个领域内 有定义.如果函数 时的极限存在, 且等于它在点 处的函数值 即 则称函数 在点 处连续. 当 函数连续的条件 函数 f (x) 在点 x0 处连续必须满足的三个条件: 在点 处有定义; 存在; 例:讨论 在 处的连续性. (1) (2) (3) 函数的间断点及其分类 例:讨论 在 处的连续性. 函数在 x0 点处连续, 则函数图形在 x0 点处不断开. 例:讨论 在 处的连续性. 函数连续的条件 函数的左连续与右连续 若函数 在 内有定义, 且 则称 在点 处左连续; 在 内有定义,且 则称 在点 处右连续. 若函数 例:讨论 在 处的连续性. 函数的左连续与右连续 定理1 函数 f (x) 在 x0 处连续的充分必要条件是 函数的左连续与右连续 例:讨论 在 连续性. 处的 函数的左连续与右连续 例:讨论 在 处的 连续性. 例:求 a 为何值使 在 处连续. 例:求 a 为何值使 在 处连续. 函数的左连续与右连续 例:求 a 为何值使 在 处连续. 函数的左连续与右连续 思考:a, b为何值使 在 处连续. 连续函数 如果一个函数在区间里每一点都连续,则称函数在该区间内连续. 如果一个函数在区间 (a , b) 连续,且在 x = a 处右连续,在 x = b 处左连续,则称函数在区间[a , b]内连续. 连续函数的图形是一条连续不间断的曲线. 函数的间断点及其分类 如果函数 f (x) 在 x0 的某一空心邻域内有定义,且 f (x) 在点 x0 处不连续,则称 f (x) 在点 x0 处间断, 称点 x0 为 f (x) 的间断点. 函数 f (x) 在 x0 点处间断的三个原因: 在点 处有无定义; 不存在; (1) (2) (3) 函数的间断点及其分类 (1) f (x) 在点 x0 处有无定义; 例:函数 函数在 x = 1 处无定义. 函数的间断点及其分类 不存在; (2) 例:函数 函数的间断点及其分类 (3) 例:函数 函数的间断点及其分类 设点 x0 为 f (x) 的间断点,且左、右极限都存在, 则称 x0 为 f (x) 的第一类间断点. 例:函数 例:之前三例都是第一类间断点. 函数的间断点及其分类 例: 如果 x0 为