4.2 可分离变量的微分方程.pptVIP

第二节 可分离变量的微分方程 二、典型例题 例 自由落体的速度和位移 设质量为m的物体在某种介质内受重力G的作用自由下坠，其间它还受到介质的浮力B与阻力R的作用。已知阻力R与下坠的速度v成正比，比例系数为k，即R=kv（k0）。试求该落体的速度与位移的函数关系。 三、小结 * 一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 一阶微分方程一般可表示为 若关于 可解出 , 则可写作: 还可写作对称形式: 称为可分离变量的微分方程. 一阶微分方程 求解可分离变量的微分方程 的步骤: 1、分离变量,得 2、两边积分,得 3、求出通解 例1 求解微分方程 解 分离变量 , 得 两端积分 , 得 解得 例 求解微分方程 解 分离变量,得 两端积分,得 解得 例2 求解微分方程 解 分离变量,得 两端积分,得 解得 例3 求解微分方程 解 分离变量,得 两端积分,得 解得 解 分离变量,得 两端积分,得 解得 解 由题设条件 衰变规律 解 分离变量得 解得 例 7 有高为 1 m 的半球形容器 , 水从它的底部小孔流出 , 小孔横截面积为 1 cm2 (如图). 开始时容器内盛满了水 , 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度 h (水面与孔口中心间的距离) 随时间t 的变化规律 . 解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为(托里斥利定律) 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 对应用问题，可以用“元素法”来建立微分方程. 设在微小的时间间隔 水面的高度由 h 降至 h+dh , 比较(1)和(2)得: 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为 解 例8 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6秒 后, 车间内 的百分比降低到多少? 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内, 的通入量 的排出量 的通入量 的排出量 的改变量 6秒钟后, 车间内 的百分比降低到 可分离变量的微分方程初值问题: 的解也可直接用变上限积分来确定： 分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分——隐式通解. * *