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第二章 非线性方程求解 第二章 非线性方程求解目录 第二章 非线性方程求解概述 非线性方程求解概述(续） 求方程根近似解的几个问题： 求根的隔离区间的两种方法 例2（续） §1 对分法 对分法（续） 对分法的误差估计 对分法举例 例3(续) 对分法的优缺点 §2 迭代法 2.1 迭代法的基本思想 迭代法举例 例4（续） 迭代法举例续 迭代法的几何含义 迭代法的几何含义（续） 2.2 迭代法的收敛条件（三大定理） 压缩映象原理的证明 压缩映象原理的证明（续1） 压缩映象原理的证明（续2） 两个重要误差公式说明 两个重要误差公式说明（续） 迭代法的收敛条件之二 定理2.2证明 定理2.2应用举例 定理2.2应用举例（续） 应用举例 迭代法的收敛条件之三 2.3 Steffensen方程——简单迭代法的加速 {xn}的r 阶收敛定理 定理2.4（续） 1、 Aitken加速法 Aitken加速法（续） 2、 Steffensen加速收敛式 Steffensen加速收敛举例 §3 Newton法与弦截法 Newton法（续） Newton法的几何意义 Newton法举例 Newton法收敛定理 定理2.5（续） Newton法的几何意义及其优劣 3.2 计算重根的牛顿迭代法 计算重根的牛顿迭代法(续1） 计算重根的牛顿迭代法(续2） 计算重根的牛顿迭代法(续3） 例8（续） 3.2 弦截法 弦截法迭代公式的几何解释 弦截法的几点说明 弦截法的几点说明(续） 弦截法举例 表2-4 §4 抛物线法 抛物线法（续） 抛物线法的几点说明 抛物线法举例 第二章 结 束 1。需要两个点x0，x1才能开始进行迭代： （1）若只给定x0，则须利用其他方法，如对分 法，求 x1，然后再利用弦截法，求x2 ，x3， …； （2）若给定一有根区间，可直接用两端点作 x0，x1。 ?{xn}收敛，收敛阶为1.618，超线性收敛。 ? ? ? ? ? ? ? 3. 上述弦截法又称为变端点弦截法，其实还可 写为： 固定一端点x0，称为定端点 弦截法（单点） ，如右图 ： x1 x2 x3 x0 x y 图8-5 例9 用定端点，变端点截线法求方程： f (x) = x3?2x?5 在区间[2,3]内的一个实根（有12位有效数字的实根为? = 2.09455148514）。 解： 取x0 = 2, x1=3，用两种方法计算结果如下： （见表2-4） 可见 变端点比定端点收敛速度快得多。变端点的x6已达精确值，而定端点x6只有7位有效数字。 设x, y为[a, b]上的任意两点，由微分中值定理，在 x, y之间至少存在一点?，使得: 于是： 即? (x)满足定理2.1的条件（2），故结论成立。 证毕！ 采用的三种迭代格式， 在隔根区间（1,1.2）内有： 用定理2.2判别简单迭代法的收敛性比定理2.1方便 如对例题5： 第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第三种迭代格式比第二种迭代格式中的L要小，因而收敛要快得多，这与实际迭代结果完全吻合。 故可取n = 7，只需迭代7次就可达到所要求的精度。 根据定理2.2可知， 对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过 10-6，可估计迭代次数： 定理2.2应用举例(续) 如对例题6： 对于迭代函数 由于 因此 在[0.5，1.5]上单调减小，而 于是，当x∈[0.5 ,1.5]时， 即 在[0.5，1.5]上单调减小，因此 但： 可见不满足定理2.2的条件（2）。从表（2-3）看到 取x30=1.133074649作为初始值x0 ,x31 =1.128116321作为x1 当: 又由于 因此对[x30 x31]定理2.2的条件（2）成立，故迭代过程收敛。 为使误差不超过10-8： 取k=38,于是迭代138+30=168次必可使近似解满足误差要求。实际上，从表2.2看到，只需要迭代110次便可达到所要求的精确度，式（2-6）右端是最大可能误差界。对于本例来说，估计的迭代次数偏大了。 而对于迭代函数 由于 因此 在[1，2]上单调减小， 当x∈[1 ,2]时： 即有 又由于 因此定理2.2的条件（2）成立。 产生的迭代序列收敛。 故由 为使误差不超过10-8： 于是可取k=12,实际迭代11次必可使近似解满足误差要求。 Leonardo于1225年研究了方程：