山大 数学物理方法PPT(齐次方程的分离变量法)［PPT课件］.pptVIP

第八章 分离变数(傅里叶级数)法;这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射;对于方程;方程的解是;（2）;以上的本征振动是满足弦振动方程;左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数;偏微分 方 程;求解:;（二）例题;对于方程;;C1为任意常数，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。;注意，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。;把左边的函数;可得杆上温度U（x，t）满足的泛定方程和定解条件：;则当;而关于T的方程;左边是以;此时可得最后结果为：;若n为偶数，则;随k的增大而急剧减小，此时一般解级数;x;可以验证，把w和v的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程;代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程 和X的边界条件：;为确定系数An和Bn,j将上式代入非齐次边界条件：;例4：;对于导体来说，电荷不再移动，说明导体中各处的电势相同，;在无限远处，电势保持为E0，故在无限远处，Ey＝0，Ex＝E0;把此常数记为：;从而可求得本征值和本征函数：;拉普拉斯方程是线性的，其一般解为所有本征解的叠加：;再来看非齐次边界条件：;最后我们可得柱外的静电势为：;若只看y轴下方，则如图，可以看成平行;例5：;稳恒振荡完全由交流电源引起，故周期相同，则：;则稳恒振荡由;输入端电压同电流之比叫做输入阻抗：;Method of Separation of Variables （分离变量法） for One-Dimensional Mixed Problems ;（2）;;;The solution of (1) is