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第二节 多元函数 一、多元函数的概念 自变量的取值称为定义域；对应的函数值的集合称为值域。 类似地， 由于三元及三元以上函数的许多性质及其微分法与 二元函数完全相似，所以，在此主要研究二元函数。 并先介绍一些相关概念。 其定义域： ★注意 区域：由平面上一条曲线或多条曲线围成的 一部分平面称为区域. 边界：围成区域的曲线称为边界. 邻域： 把以点 为圆心， 为半径的 组成的区域称为点 的邻域，记为 圆内所有的点 内点：若点 p 的某个邻域内的点都属于区域 D， 则称点 p 为区域 D 的内点. 外点：若点 p 的某个邻域内的点都不属于区域 D ，则称点 p 为区域 D 的外点. 边界点：若点 p 的任一个邻域内的点，既有属 于区域 D 的点，又有不属于区域 D 的 点，则称点 p 为区域 D 的边界点. 闭区域：由所有内点和以闭曲线为边界的所有 边界点组成的区域称为闭区域. 开区域：只有内点组成的区域称为开区域. 求函数 的定义域. 例1 解：欲使函数z有意义，自变量x，y必须满足 不等式： 即： 所以，其定义域D为： 例2 求函数 的定义域. 解：欲使函数z有意义，自变量x，y必须满足 不等式组： 所以，其定义域D为： 例3 解： 函数z在点 处的函数值为： 函数z在点 处的函数值为： 二元函数的几何意义： 几种常见的曲面方程： 以点 为球心，以R为半径的球面 方程为： 1）球面方程： 2）椭圆柱面： 方程 表示椭圆柱面，当 a=b=R 时， 中不含z，即z可任取，在空间直角 坐标系中该方程表示母线平行于z轴的圆柱面. 3）椭圆抛物面： 4）圆锥面： 5）双曲抛物面： 6）双曲柱面： 7）抛物柱面： 二、二元函数的极限与连续性 1 二元函数的极限 1）上述极限的定义实际上是一元函数极限定义的推 广，所以有关一元函数的极限运算法则同样可以推广 到二元函数. ★注意 3）上述极限定义不能用以求二元函数的极限，但可以 用该定义判定二元函数的极限不存在，即：只要有两条 路径极限不同，该函数极限就不存在. 求 例4 解：一元函数求极限的方法中有分子(母)有理化 的方法，该方法也适用于二元函数求极限的运算。 例5 （待续） （续） 2、二元函数的连续性 二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质， 如连续函数的和、差、积、商、复合仍是连续函 数；多元初等函数在其定义域内是连续函数等。 因此，要求多元初等函数在其定义域内任一点处 的极限值，只需要求出函数在该点的函数值即可。 求极限 例6 解：