实变函数论课件23课件幻灯片.pptVIP

五．单调函数的结构 问题5：利用上面的跳跃函数能否抹去给 定单调函数的间断点使其连续？ 问题6：对于给定的单调递增函数，其对 应的跳跃函数也是单调递增的， 这两个函数的差是否仍是单调递 增的？ 第23讲 单调函数的结构 定理3 设 f 是 上的单调增加函数， 是 f 的不连续点全体，令 则 是 上的单调增加函数，且 是 上的单调增加连续函数。 第23讲 单调函数的结构 证明：记 ， 则由 f 的单调性知 均非负。由定理3知 。于是 是 上的单调增加函数，且其间断点全体为 ，在间断点 处的左、右方跳跃度分别为 。 第23讲 单调函数的结构 显然， 在 处连 续，而当 时， 在 处的左方 跳跃度为 ， 同理右方跳跃度也为0。这说明 在 处也是连续的，即 h 是 上的连续函数。 第23讲 单调函数的结构 往证 h 是单调增加的。设 ，则当 时， 当 时， 所以 第23讲 单调函数的结构 第23讲 单调函数的结构 这说明当 x 是 f 的间断点时， 是 f在 上不连续点处的跳跃度总和，若 是 f 的间断点，则 为 f 在 上的不连续点处的跳跃度总和加上在 处的左方跳跃度。进而当 ，且 时， 不超过 f 在 上不连续点处的跳跃度总和。 故由定理1得 ， 即 。 换言之，h 是 上的单调增加函数。证毕。 第23讲 单调函数的结构 第23讲 单调函数的结构 目的：熟练掌握单调函数的结构，熟悉单调函数的基本性质以及跳跃度、跳跃函数等重要概念。 重点与难点：单调函数的性质与结构。 基本内容： 一．问题的提出 问题1：Newton-Leibniz公式告诉我们 什么？它的重要性表现在什么 地方？对于Lebesgue积分而言， 能否建立类似的结论？ 第23讲 单调函数的结构 牛顿-莱布尼兹公式告诉我们，如果 是 [a, b] 上的连续函数，则 是 的一个原函数，即 。 第23讲 单调函数的结构 第23讲 单调函数的结构 假如我们将Riemann积分换成Lebesgue积分，类似的结论是否仍成立？具体地说，若 是[a,b]上的Lebesgue可积函数，则 在[a,b]上是否可导？如果可导，其导函数是否等于 ？ 另一方面，如果 是 [a, b] 上的可导函数，则 在 [a, b] 上是否可积？如果可积，则 是否等于 ？不难看到，无论是对Riemann积分还是对Lebesgue积分而言，一个函数即使处处有导数，其导函数未必是可积的。 第23讲 单调函数的结构 第23讲 单调函数的结构 例如，若 则 在[0,1]上处处有导数，然而 在[0,1]上却是不可积的 (参见江泽坚、吴智泉合编《实变函数论》第二版，高教出版社1998)。那么，什么样的函数的导函数是可积的呢？ 这正是我们关心的问题。 二. 单调函数的间断点 定义1 设 f 是定义在实直线 R1 中点集 E 上的有限函数，如果对任意