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第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 所以 再由 的任意性得 另一方面，由Lebesgue积分定义及 互 不相交易知 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 故 再由 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 得 仍由 的任意性得 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 所以 证毕。 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 (iv)当 时， 证明 令 ，则 由L-积分的定义显然有 ，再由 (i),(iii)知， 即 。证毕。 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 推论 设 且f是E上有界可测函数,则 证明：因为 故由定理1的(iii)、 (iv)得 ，即 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 作业：P166 1，4 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 目的：了解Lebesgue积分的科学意义，熟练掌握Lebesgue积分的定义及其基本性质。 重点与难点：Lebesgue积分的引入及其性质。 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 基本内容： 一．Lebesgue积分的定义 问题1：分析Riemann积分的缺陷，我们应如何定义可测函数的积分？ 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 到目前为此，一切准备工作就绪，我们可以来定义Lebesgue积分了。定义Lebesgue积分的方法有多种，其一是利用简单函数来定义，根据上一章，对E上任一非负可测函数f，可以找到一列单调递增的简单函数 ，使得 ，而对每个简单函数 ，若 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 则可自然定义 的积分为： 若此和式极限存在，则可定义该极限为f的积分，最后再过渡到一般的可测函数。 第二种方法是如引言所说，找一串 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 序列 ，使记 ，讨论和式极 限是否存在。 还有一种办法，就是对E作任意划分： 记 ， 然后象Riemann积分那样作对应于该划分的小 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 和数 与大和数 ，讨论相对于划分的加细，其大和数与小和数的极限是否相等。 本章将采用第二种做法。 定义1 设 是测度有限的可测集，f是定义在E上的有界可测函数，即存在 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 ，使 若D： 是 的任一分点组，则记 对任意 ,作和式 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 称S(D)为f对应分点组D的一个“和数”。如果存在常数A，使得对任意 总有 当任意分点组D满足 时 换言之， 则称f在E上是Lebesgue可积的，并称A为f在E上的 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 Lebesgue积分，记作 有时为简便起见，也记 ，若 ，则记 当 是Riemann可 积函数时，其Riemann积分仍沿用数学分 析中的写法，记作 ，后面将会看 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 到，当 Riemann可积时，必有 ，由此可见Lebesgue积分确是Riemann积分的推广。 对 的任意分点组D： 可作两个特殊的和数为： 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质 称 ， 分别为f 对应分点组D的“大和数”与“小和数”。显然对于f 的任一和数 ，有 由此可见，极限 存在当且仅当 第16讲 Lebesgue积分的定义与性质