专题04 新定义概念问题-攻破15个特色专题之备战2018中考数学高端精品（解析版）.doc

专题04 新定义概念问题 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序、新的情境等等．要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学试题的新亮点. 解题关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 【考点分类总结】 考点1：定义新数 【典型例题】（2017枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pq（p，q是正整数，且pq），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称pq是n的最佳分解．并规定：F（n）=． 例如12可以分解成112，26或34，因为12﹣16﹣24﹣3，所以34是12的最佳分解，所以F（12）=． （1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数． 求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1； （2）如果一个两位正整数t，t=10xy（1x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值． 【答案】15，26，37，48，59． 【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可； （2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10yx，由“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可； （3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可． 对新数的解析蕴含在对数量关系的描述中，充分理解，结合相应知识，才能顺利解答． 【变式训练】 （2017重庆对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213321+132=666，666111=6，所以F（123）=6． （1）计算：F（243），F（617）； （2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x32，t=150y（1x≤9，1y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）F（t）=18时，求k的最大值． 【答案】F（243）=9F（617）=14． 【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论； （2）由s=100x32、t=150y结合F（s）F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k=中，找出最大值即可． 【解答】（1）F（243）=（423342+234）111=9； F（617）=（167716+671）111=14． （2）s，t都是“相异数”，s=100x32，t=150y，F（s）=（30210x+230+x+100x+23）111=x+5，F 考点2：定义新运算 【典型例题】（2017山东省日照市）阅读材料： 在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线AxBy+C=0的距离公式为：． 例如：求点P0（0，0）到直线4x3y﹣3=0的距离． 解：由直线4x3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，点P0（0，0）到直线4x3y﹣3=0的距离为． 根据以上材料，解决下列问题： 问题1：点P1（3，4）到直线的距离为 ； 问题2：已知：C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，C与直线相切，求实数b的值； 问题3：如图，设点P为问题2中C上的任意一点，点A，B为直线3x4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出SABP的最大值和最小值． 【答案】b=或S△ABP的最大值=4，SABP的最小值=2． 【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可； （2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题． （3）求出圆心C到直线3x4y+5=0的距离，求出C上点P到直线3x4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题． 理解新运算法则是解题的关键． 【变式训练】 （2017四川省乐山市），我们定义（为常数）． 例如，则．