线代3.2研究报告.pptVIP

5（参见 P17第2题(1) )证明 解 构造范德蒙行列式： （*） 易知，所求行列 式是 的系数相 反数，而由范德蒙 行列式知： 故原行列式 证毕 的系数为 其中， 解 由克莱姆法则,先计算系数行列式 参见P41 习题 1 即得: 故 □ 第二章 矩 阵 本章讨论 矩阵的基本概念与运算、 逆矩阵存在的条件、 伴随矩阵的性质、 矩阵的初等变换、 矩阵的秩。 上述内容都应熟练掌握。 前次课内容回顾 一些概念： 转置行列式、余子式、代数余子式。 主要结论： 行列式的性质 1~6 ； 展开法则: (定理3) 范德蒙行列式： 计算行列式的基本方法：消元法、展开法。 注：此行列式也称为双对角行列式。 解 按第一行展开，有 例（教材P14例10）计算 以此作递推公式，即可得 例（教材P15例11）证明范德蒙行列式 （*） 注：记号“ ”表示全体同类因子的乘积。 （思考：（*）式右端共有多少项？） 解 用数学归纳法。因为 现假定（*）式对于 n-1 阶范德蒙行列式成立， 要证（*）式对n 阶范德蒙行列式也成立。 为此，设法把 Dn 降阶：从第 n 行开始，后行 减去前行的 x1 倍，得： 所以当 n=2时，（*）式成立。 故结论对 n 的情形也为真，证毕。 1. P18习 题3(2) 2. 利用前面的两个例子，你能很快说出下面两个行列 式的结果吗？ 类似可证列的情形。 当 时，上式左端行列式有两行元素对应 相同，故行列式为零。即得 3 设行列式 ， 0 。 -28 解2）虽然可以直接计算，但如下方法更加简单。 解1）由代数余子式的重要性质即可知； 构造行列式 另一方面，容易计算 M 的值 M 与 D 的区别仅仅是第四行元素，因元素的余子式与 该元素所在行（列）的元素无关，因而 M 与 D 的第四 行元素的余子式对应相同，将 M 按第四行展开，得 1 1、已知多项式 则 的最高次数是 。 2、方程 的全部根是 。 §5 克莱姆法则 引言 本节是行列式理论的一个应用，即对于线性方程 组 来说，它的解可用 n 阶行列式表示，这便是克莱姆法则。 那么，方程组（5）有唯一解 其中 克莱姆法则 如果线性方程组（5）的系数行列 式不等于零，即 定理的证明我们略去, 提醒大家注意下面几点： 克莱姆法则的前提是方程的个数与变量的个数相等。 在 D≠0 时，有唯一解。（D=0 的情形将在第 二章讨论。） 的构造。 克莱姆法则给出了解的表达形式及 例 用克莱姆法则解线性方程组（教材P19例13） 解 因为 所以方程组有唯一解， 类似地， 故得： □ 定理6 如果线性方程组（5）的系数行列式 D≠0，则 （5）一定有解，且解是唯一的。 定理6/ 如果线性方程组（5）无解或有两个不同的解， 则它的系数行列式 D=0 。 下面将克莱姆法则应用到一个较为特殊的情形，即 齐次线性方程组的情形。 克莱姆法则在理论上十分重要，它可以叙述为如下两个 定理： 定义 线性方程组 右端的自由项 不全为 0 时，称方程组为非齐次线性方程组；当 全为 0 时，称其为齐次线性方程组。 易知：对于齐次线性方程组 来说， 一定是它的解，称其为齐次方程组的零解；如果一组不全为0的数是它的解，称其为齐次方程组的非零解。 由定理 6 及定理 6/ 可知有: 定理7 如果齐次线性方程组的系数行列式 D≠0，则 其没有非零解（也即只有零解）。 定理7/ 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行 列式 D =0 。 解 系数行列式 有非零解？ 例（教材P21例14） 问 为何值时，齐次方程组 如当λ=2时，方程组成为 易知有非