初中数竞赛专题辅导特殊化与般化.docVIP

初中数学竞赛专题辅导 特殊化与一般化 　　特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象．也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题． 　　另外，特殊化、一般化和类比联想结合起来，更可以由此及彼地发现新命题、开拓新天地． 　　1 　　1 在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高(图2-102)，则有CD2=AD·BD． 　　这是大家所熟知的直角三角形射影定理． 　　1，如果CD是斜边上的中线，将怎样？由此得到命题2． 　　2 在△ABC中，∠C=90°， CD是斜边上的中线(图2-103)，则有CD=AD=BD． 　　(在此定理中仍保持CD2=AD·BD)． 　　CD是∠C的平分线，将怎样？于是得到命题3． 　　3 在△ABC中，∠C=90°，CD是∠C的平分线(图2-104)，则有 　　. 　　DE⊥BC于E，DF⊥AC于F． 　　因为 　　所以 　　　 　　1、命题2、命题3一般化，考虑D点是AB上任一点，便产生了以下两个命题． 　　4 在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一内分点(图2-105)，则有 　　DF⊥AC于F，DE⊥BC于E．因为 CD2-BD2＝CE2-BE2=(CE-BE)BC， 　　而 　　所以 　　所以 　　即 　　5 在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一外分点(图2—106)，则有 　　4之结论中AD为-AD，则有 　　　 　　4和命题5特殊化，令D点与A点重合(即│AD│=0)，那么无论是①式或②式都有 AB2=BC2+AC2. 　　这就是我们熟知的勾股定理． 　　4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的，因此，它们也可称作广勾股定理．下面用命题4或命题5来证明以下定理． 　　ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a在c上的射影为n， 　　-”号，∠B为钝角时，取“＋”号)． 　　4证图2-107中的情况(∠B＜90°)． 　　2-109，其中∠DBA=90°，CD=x，CE⊥DB于E，并设CE=n．由命题4，立得 　　 　　得 　 　 　　所以 b2=a2+c2-2cn． 　　2-108(∠B＞90°)的相应结论． 　　2 　　1 设x，y，z，w为四个互不相等的实数，并且 　　x2y2z2w2=1 　　 　　(1) 　　又因为 　　到原命题，由 　　容易想到变形 　　去分母变形为 　　(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用x，y，z，w互不相等)就得到 x2y2z2w2=1. 　　2 设凸四边形O1O2O3O4的周长为l，以顶点O1，O2，O3，O4为圆心作四个半径为R的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度(图2-110)． 　 　　(1)先解一个特例(图2-111)．设只有两个圆轮⊙O1，⊙O2，2│O1O2│=l＇．显然，带动两轮转动的皮带长度为 s=l＇+2πR． 　　(2) s=l＋2πR． 　　以下证实这个猜想是正确的． 　　s与各圆轮接触的四个弧为 　　由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可． 　　O1A＇3∥O2A3，由于O1A1∥O2A2，所以∠A1O1A＇　　　　　　　　O1R为半径的圆．因此，四圆弧之长为2πR．又因为O1O2=A1A2，O2O3=A3A4，O3O4=A5A6，O1O4=A7A8，所以 l＝A1A2＋A3A4＋A5A6＋A7A8． 　　所以，所求皮带长为 s=l＋2πR． 　　3 设a1，a2，…，an都是正数．试证： 　　n=3，即证 　　把②变形为 　　即证 　　(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)，其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)之和即可．为此，我们证更简单的事实． 　　a，b是任意正整数，则有 　　(a-b)2≥0有 a2-ab≥ab-b2， 　　 ≥(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a1)≥0， 　　 　　 ? 练习十九 　　12-112．已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A＇，B＇，C＇，D＇．求证： ＇A＋B＇B=C＇C＋D＇D． 　　2l，使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些(如l过A，或l交AB，BC等)，那么，相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明． 　　31中，如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系(如平行四边形变成圆，或某一中心对称图形，垂线AA＇，BB＇，CC＇，DD＇只保持平行等)，那么又有什么结论，试作出你的猜想和证明． 　　4ABC的周长为40米(m)，以A，B，C三点为圆心，作三个半径为1米的圆轮，带动圆轮转动的皮带长为l，试求l的