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典型非线性问题的MATLAB 仿真实现 一、LTI （线性时不变系统）的品质特性 . 对任意的LTI ：x Ax ，该线性时不变系统具有以下特征： 1、如果 的行列式det(A) 0 ，那么该系统具有唯一的平衡点； A 2 、如果 的特征值(A) 0 ，那么该系统的平衡点是稳定的，并且与初始条件无关； A 3、该系统的暂态响应由系统的各个自然振荡模态组成，并可以通过解析法得到； . u 4 、若给出系统的输入 ，那么系统x Ax Bu 具备下属特性： （1） 该系统满足叠加原理； （2 ） 该系统是渐进稳定的；并由此推出该系统BIBO 稳定； （3 ） 若系统输入为正弦，那么系统输出为同频的正弦。 二、研究非线性的缘由 1、对于现实当中存在的系统而言，非线性是绝对的，而线性是相对的。线性系统的研究在 实际当中取得了很大的成功，然而由于本质非线性的缘故，有一部分系统采用经典线性 系统理论并不能取得良好的分析效果，因此为了改善现有的控制系统的性能，需要从本 质上研究非线性； 2 、与线性学科一样，非线性作为一门学问同样有研究的必要性； 3、非线性问题的研究可以在一定程度上处理对象模型的不确定性； 4 、采用非线性器件设计的系统往往更简单，价格也便宜。 鉴于以上缘故，非线性问题吸引大批学者对其进行研究。 三、常见非线性处理办法 1、平衡点 平衡点为系统的这样一种位置状态，在这个位置，系统能够永远停在那里，不在运动。 2 、非线性系统存在多个平衡点 对于非线性问题，我们的一种普遍的观点是对其线性化。例如如下所示的非线性系统 . . 2 x x x x x 非线性系统在忽略高次项的情况下，转化为线性系统。下面来比较一下转化前后二者的不同： 线性系统： 图1 设定初始条件x (0) 1 时仿真曲线为： 图2 设定初始条件x (0) 0 时仿真结果为： 图3 设定初始条件x (0) 1 时仿真结果为： 图4 非线性系统： 图5 设定初始条件x (0) 5 的仿真结果为： 图6 设定初始条件为x (0) 0.999 的仿真结果： 图7 设定初始条件为x (0) 1.111 的仿真结果： 图8 . 将式子x x x 2 进行变形得出下式： dx 2 x x dt 2 dx (x x )dt 两边积分得出： t x e x (t ) 0 1x x et 0 0 用matlab 绘制曲线： a=[-5,0.999,1.001]; t=linspace(0,50,1000); b=exp(-t); result1=a(1)*b/(1-a(1)+a(1)*b); plot(t,result1) ； hold on; plot(result2) hold on; plot(t,result3) 图9 3、平衡点的稳定性也可能依赖于输入。 4 、极限环 极限环（ limit cycle ）是指在没有激励时产生的固定幅值和固定周期的震荡。举例而言，Van der Pol 方程： .. . m x2e(x2 1) xkx 0; m, e, k 为常数。 存在以下的情况满足这个物理方程： （1） 质量—弹簧—阻尼系统； （2 ） 含非线性电阻的RLC 电路。 在质量—弹簧—阻尼系统中，