根据高德纳的计算机程序设计艺术.docVIP

源起 根據高德納的《計算機程序設計藝術》，1150年印度數學家Gopala和Hemachandra在研究箱子包裝物件長闊剛好為1和2的可行方法數目時，首先描述這個數列。在西方，最先研究這個數列的人是比薩的李奧納多（又名斐波那契），他描述兔子生長的數目時用上了這數列。 第一個月有一對剛誕生的兔子 第兩個月之後牠們可以生育 每月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子 兔子永不死去 假設在n月有新生及可生育的兔子總共a對，n+1月就總共有b對。在n+2月必定總共有a+b對：因為在n+2月的時候，所有在n月就已存在的a對兔子皆已可以生育並誕下a對後代；同時在前一月(n+1月)之b對兔子中，在當月屬於新誕生的兔子尚不能生育。 表達式 為求得斐波那契數列的一般表達式，可以藉助線性代數的方法。 線性代數解法 1 首先構建一個矩陣方程 設Jn為第n個月新出生的兔子數量，An為這一月份的兔子數量。 上式表達了兩個月之間，兔子數目之間的關係。而要求的是，An+1的表達式。 2 求矩陣的特徵值: （λ） 行列式：-λ*(1-λ)-1*1=λ2-λ-1 當行列式的值為0，解得λ1 = 或 λ2 = 3 特徵向量 將兩個特徵值代入 求特徵向量 得 == 4 分解首向量 第一個月的情況是兔子一對，新生0對。 將它分解為用特徵向量表示。 5 用數學歸納法證明 從= 可得（5） 6 化簡矩陣方程 將（4） 代入 （5）}- }- 7 求A的表達式 現在在6的基礎上，可以很快求出An+1 的表達式,將兩個特徵值代入 6 中 (7)即為An+1 的表達式 近似值 用電腦求解 可通過編程觀察斐波那契數列。分為兩類問題，一種已知數列中的某一項，求序數。第二種是已知序數，求該項的值。 可通過遞歸的演算法解決此兩個問題。 和黃金分割的關係 開普勒發現兩個斐波那契數的比會趨近黃金分割： 斐波那契數亦可以用連分數來表示： 而黃金分割數亦可以用無限連分數表示： 恆等式 證明以下的恆等式有很多方法。以下會用組合論述來證明。Fn可以表示成用多個1和多個2相加令其和等於n-1的方法的數目。例如F0 = 0，表示沒有方法可以加到0。在這裡加的過程中，先後次序不同但使用1和使用2的數目一樣的兩個方法視為不同。例如 1+1+2 和 2+1+1 是兩個不同的方法。 Fn + 1 = Fn + Fn ? 1 不失一般性，我們假設n ≥ 1。Fn + 1是計算了將1和2加到n的方法的數目。若第一個被加數是1，有Fn種方法來完成對n-1的計算；若第一個被加數是2，有F(n-1)來完成對n-2的計算。因此，共有Fn + Fn - 1種方法來計算n的值。 F1 + F2 + F3 + ... + Fn = Fn + 2 - 1 計算用多個1和多個2相加令其和等於n+1的方法的數目，同時最後一個加數是2的情況。 如前所述，當n ≥ 0，有Fn + 2種這樣的方法。因為當中只有一種方法不用使用2，就即 1 + 1 + ... + 1　（n+1項），於是我們從Fn + 2減去1。 若第1個被加數是2，有Fn個方法來計算加至n-1的方法的數目； 若第2個被加數是2、第1個被加數是1，有Fn - 1個方法來計算加至n-2的方法的數目。 重覆以上動作。 若第n+1個被加數為2，它之前的被加數均為1，就有F(0)個方法來計算加至0的數目。 若該數式包含2為被加數，2的首次出現位置必然在第1和n+1的被加數之間。2在不同位置的情況都考慮到後，得出Fn + Fn - 1 + ... + F0為要求的數目。 F1 + 2F2 + 3F3 + ... + nFn = nFn + 2 - Fn + 3 F1 + F3 + F5 + ... + F2n - 1 = F2n F2 + F4 + F6 + ... + F2n = F2n + 1 - 1