[论文]转化思想在数学解题中的应用.docVIP

转化思想在数学解题中的应用 谢全苗 客观事物在不断地运动变化，事物之间在互相转化。反映在数学上的转化思想就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化，变为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解决。 波利亚指出：“解题过程就是不断变更题目的过程”。转化思想就是要求我们换一个角度去看，换一种方式去想，换一种语言去讲，换一种观点去处理，以使问题朝着有利于解决方向不断变更，从不同的角度和特征出发，把同一问题用不同的形式在不同的水平上转化出来。转化就如同“翻译”，通过“翻译”，不仅使我们对能解决的问题不再停留在解决的层面上，而且让我们能站得更高、看得更清、想得更好、表叙得更简洁，做到既知道有几种解法，又明白以怎样方向入手去解才是最简。下面举例说明。 1 换一个角度去看 例1 若正数a、b满足，则ab的取值范围是__________。（1999年全国高考题） 分析 本题有多种解法，此题若由直接推出ab的取值范围是走不通的，现在只能换一个角度，用转化的思想，由于a、b是正数，显然成立，当且仅当a=b时取等号。把等式转化为关于ab的不等式，这是关键的一步。解不等式（舍去），所以。即ab的取值范围是[9，。 例2 如图1，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A，B为焦点，当时，求双曲线的离心率e的取值范围。（2000年全国高考试题） 分析 一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率e的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点E分有向线段AC所成的比”。这时，一些思维灵活，能换一个角度去看的学生就有了用武之地： 他们首先看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手： 如图1，以AB的垂直平分线为y轴，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴。因为双曲线过C、D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称，并设双曲线方程为，则离心率。 在做好这一基础性工作的前提下，如何由λ的范围来求e的范围就成了解决本题的思维核心，他们看到这个双参数问题中，λ和e既互相制约，又在一个矛盾中统一（统一在一个方程里），这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个为辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维，灵活转化的绝妙压轴题。题虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭。因此，他们根据λ的范围已知这一条件，进而确立：先视λ为主元，再视e为主元，找出两个参数之间的关系，将问题转化为已知范围，再解不等式，由此求出参数e的范围这样一个整体的思路和思维策略。 于是，他们先视λ为主元，找λ的关系式： 依题意，记A（－c，0），C（），E（），其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高。由定比分点公式得：。 但在如何再视e为主元，找出两个参数之间的关系时，又一次体现思维水平的层次性。 视角1 视点C、E为直线AC与双曲线的交点，这时，虽能把方程代入。这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径。思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了。 视觉2 视点C、E在双曲线上，将C、E的坐标和代入曲线的方程，得 ① ② 由①得：③ 将③式代入②式整理得：。 由题设。 所求双曲线的离心率e的取值范围是 视觉3 视AC、AE为点C、E到焦点A的距离，由焦半径公式得： 而AC、AE同号，从而 所以 由题设 所以双曲线的离心率e的取值范围是 这里同是C、E二点，但由于解题转化思想的运用，从不同的视角出发，使解题的切入点和解题的方向各不相同，对同一问题解答所用的知识、方法也不同。其中视角二下的方法比较简单，而视角三下的方法，运用焦半径公式来解，在简捷中更显得灵活，真是：“横看成岭侧成峰，远近高低无一同”。 2 换一种方式去想 例3 试求常数m的范围，使曲线的所有弦都不能被直线垂直平分。 分析 本题看上去并不难，就两句话，但真做起来却不容易，难在习惯的思维方式难以直接将“所有弦都不能被直线垂直平分”的题意转化为数学关系式。因此，解决本题的关键是换一种方式去想，这里从正面思考遇到困难，应从反面去探索。“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，于是问题转化为“抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围，”再求出m取值集的补集即为原问题的解。 解 设抛物线上两点关于直线对称，于是有： 消去得： 因为存在使上式恒成立，所以 即恒成立，因为恒成立，所以，所