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黎曼几何(流形，局部与欧氏空间同胚) 球面 Klein瓶 卡拉比 -丘流形 Mobius带 环面 圆柱面 基本多边形 环面 球面 实射影平面 也可以看出圆盘或球面对径点粘合 Klein瓶 Nash嵌入定理 每个黎曼流形可以等距嵌入到欧几里得空间 Rn（全局） 电影《美丽心灵》 1994年诺贝尔经济学奖得主 黎曼几何(流形，局部与欧氏空间同胚) 欧氏几何 裸体人 坐标几何 原始人 黎曼几何 现代人 　(流形上有不同的坐标系,在局部可用坐标刻画，但这个坐标是可以任意变换的,通过控制坐标变换，得出与坐标系无关的几何性质,利用外微分形式、张量分析找出局部坐标变换下的不变量)　 黎曼几何(联络，规范场论) 平行移动（不同切空间的联系） 黎曼几何（摆脱坐标必须有直接的度量意义） 爱因斯坦（Einstein）： （希尔伯特（Hilbert）同时也做了相应工作） 《广义相对论》1915年 (狭义相对论, 1905年) 物理几何化，引力对应于曲率 整体微分几何 Gauss-Bonnet-Chen公式 　　　 在刚性的几何结构与柔性的拓扑结构之间建立起联系 拓扑学（橡皮几何学） 欧拉示性数=顶点数-边数+面块数 三角形外角和→Gauss-Bonnet-chen公式→Atiyah-Singer指标定理 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 柏拉图多面体 这些多面体和复奇点的现代理论有关，也和弦理论中非紧致卡拉比—丘成桐流形有关。 面 顶点 边 正四面体 4 4 6 立方体 6 8 12 正八面体 8 6 12 正十二面体 12 20 30 正二十面体 20 12 30 拓扑学（橡皮几何学） 庞加莱（Poincare）：《位置分析》1895年 研究拓扑不变量（如基本群） 欧 拉 数 环柄数分别为 1, 2, 3 庞加莱猜想(1904年) 庞加莱猜想：在一个封闭的三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点（即无洞），那么这个空间一定是一个三维的球面。 1961年，斯梅尔(Smale)证明五维和五维以上空间的庞加莱猜想的,并于1966年获菲尔茨奖（视频：球面翻转） 1983年，福里德曼（Freedman）证明了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖(米尔若（Milnor），唐纳森(Donaldson),瑟斯顿（Thruston）作了相关工作获菲尔兹奖) 2003年,佩雷尔曼(Perelman)证明三维庞加莱猜想(用了汉密尔顿(Hamilton)的Ricci流，丘成桐)（流形的命运） 小结 欧氏几何（公元前3世纪）→ → 射影几何，画法几何（17世纪） ↓ ↓ ↓ 坐标几何（17世纪） → 微分几何（18世纪） ↓ ↓ 黎曼几何（19世纪） ↓ 拓扑学（20世纪初） →→ 非欧几何（19世纪） → 非欧几何 欧氏几何第五公设 （过直线外一点可作唯一一条平行线） 高斯（Gauss） 波尔约（Bolyai） 罗巴切夫斯基（Lobachevsky） 于1830年左右建立 　　　 非欧几何（双曲、椭圆非欧几何） 罗巴切夫斯基几何（过直线外一点可作无数条平行线） 黎曼非欧几何（球面几何）（过直线外一点不能作平行线,并且区分无限和无界）(注:李忠，双曲几何，走向数学丛书) 球面 庞加莱圆盘 视频：mobius变换 非欧几何意义 深刻影响几何学观念，原先认为公理即真理，现在认为数学公理只是对数学对象的性质约定。 区分物理空间和几何空间 （光线走直线，走最短距离） 视频：爱因斯坦广义相对论弯曲时空 宇宙？ 广义相对论认为宇宙时空是一个具有特定黎曼度量的四维流形 小结 欧氏几何（公元前3世纪）→ → 射影几何，画法几何（17世纪） ↓ ↓ ↓ 坐标几何（17世纪） → 微分几何（18世纪） ↓ ↓