第十二章节数学物理方程和定解条件课件幻灯片.pptVIP

设杆做纵振动的位移函数为 u(x, t) ，杆的杨氏模量为 E ，体密度为 r ，在 x 处的横截面积为 S(x) ，dx 做纵振动时的运动方程为： 例题 解 试推导一均质细圆锥杆的纵振动方程。 纵向（水平方向）： 两边同除以 dx 将 代入上式，可得： 约去 p 和 tana ，化简整理得 令 则 此绳为柔软轻绳，可视作忽略掉重量的弦，设绳的平衡位置为水平线，位移函数为 u(x, t) ，绳的线密度为 r ，类似弦的横振动分析，dx 做横振动时的运动方程为： 例题 解 长为 l 的均质柔软轻绳，一段固定在竖直轴上，绳子以角速度 w 转动。试导出此绳相对于水平线的横振动方程。 横向（竖直方向）： 此绳以角速度 w 转动，绳上任意一处 x 的张力，由 x 到 l 这段绳的惯性离心力所提供，因此 离心力=向心力= mw2r 方程可化为 两端同除以 r dx 则 12.4 稳定问题 一般情况 稳定态 热传导方程 （扩散方程） u 不随 t 变化 泊松方程 拉普拉斯方程 波动方程 静电场电势 即 u 随 t 周期的变化 为波数 亥姆霍兹方程 物理 数学 波动方程 双曲型方程 热传导方程 抛物型方程 泊松方程 椭圆型方程 拉普拉斯方程 ? 任务：三类方程的求解 12.5 边界条件与初始条件 对于偏微分方程 的通解是：u(x, y) = C1(y) +xC2(y) C1 与 C2 是 y 的任意函数，可见解并不唯一。 要描述一个具有确定解的物理问题，数学上要构成一个定解问题 微分方程 边界条件 初始条件 定义 初始条件——完全描述物理问题的研究对象在初始时刻时， 其内部及边界上任意一点的状况。 边界条件——完全描述物理问题的研究对象的边界上各点 在任一时刻的状况。 第一类边界条件：边界上各点的函数值—— 第二类边界条件：边界上各点函数的法向微商值—— 第三类边界条件： 与 的线性关系 举例 热传导方程 初始条件： 边界条件： 初始时刻各点的温度 ? 边界上各点的温度 ? 单位时间内通过单位面积的边界流入的热量为 j(S, t) ：法向微商，梯度矢量在外法线上的投影。 若边界绝热，则 j = 0，有 ? 介质通过边界按牛顿冷却定律散热。 牛顿冷却定律：单位时间通过单位面积表面与外界交换的热量正比于介质表面温度 与外界温度 u0 之差，h 为比例系数。 例题 解 长为 l 的均匀细杆，x = 0 端固定，另一端受到沿杆长方向的力 F ，若撤去 F 的瞬间为 t = 0 时刻，求 t 0 的杆的纵振动的定解条件。 边界条件： （t 0 无外力作用，既无应变） 初始条件： （胡克定律，S：横截面积，E：杨氏模量） 例题 解 长为 l， x = 0 端固定的均匀细杆，处于静止状态中，在 t = 0 时，一个沿着杆长方向的力 F 加在杆的另一端上，求 t 0 时杆上各点位移的定解条件。 边界条件： 初始条件： 胡克定律， S：横截面积， E：杨氏模量 例题 解 长为 l 的均匀杆的导热问题 （1）杆的两端温度保持零度 （2）杆的两端均绝热 （3）杆的一端恒温零度，另一端绝热 试写出三种情况下的边界条件。 （1） （2）杆长方向的热量流动由傅里叶定律知，热流密度 两端绝热，既无热量流动，所以 设 u(x, t) 为杆的温度函数 （3） 或 以上均为齐次边界条件。 12.6 内部界面上的连接条件 若微分方程成立的空间区域的内部出现结构上的跃变，所补充的相关条件称为连接条件或衔接条件。 两种不同材料连接成的弦 对于第一段弦： 对于第二段弦： 设跃变严格的发生于一点，且连接非常牢固光滑。 定义 举例 解 连接点 x0 处的连接条件为： （位移相等） （张力相等） 例题 解 长为 l 的弦，在 x0 处挂有质量为 m 的小球，试推导弦作横振动时 x0 处的衔接条件。 可知： 横向： 受力分析后，由牛顿定律可知，x0 处： 纵向： 设小球引起的 q1 、q2 很小： 因此有： 衔接条件为： 解 均匀弦的某一点 x0 上受到有限大小的力 f(t) 沿 u 轴负向。 连接条件： 举例 （位移相等） （张力与外力平衡）