第一章节经典回归分析幻灯片.pptVIP

对于一元线性回归方程中的?0，可构造如下t统计量进行显著性检验： 例：在上述收入-消费支出例中，首先计算?2的估计值 t统计量的计算结果分别为： 给定显著性水平?=0.05，查t分布表得临界值 t 0.05/2(8)=2.306 |t1|2.306，说明家庭可支配收入在95%的置信度下显著，即是消费支出的主要解释变量； |t2|2.306,表明在95%的置信度下，无法拒绝截距项为零的假设。 显著性检验除t检验外，我们还会经常用到Z检，已知： 三、参数的置信区间Confidence Interval of Parameter 1、概念 回归分析希望通过样本得到的参数估计量能够代替总体参数。 假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参数的可靠性（例如是否为零），但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多“近”。 要判断样本参数的估计值在多大程度上“近似”地替代总体参数的真值，需要通过构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间”，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真实的参数值。这种方法就是参数检验的置信区间估计。 如果存在这样一个区间，称之为置信区间； 1-?称为置信系数（置信度）（confidence coefficient）， ?称为显著性水平；置信区间的端点称为置信限（confidence limit）。 一元线性模型中，?i (i=1，2）的置信区间: 在变量的显著性检验中已经知道： 意味着，如果给定置信度（1-?），从分布表中查得自由度为(n-2)的临界值，那么t值处在(-t?/2, t?/2)的概率是(1-? )。表示为： 即 于是得到:(1-?)的置信度下, ?i的置信区间是 在上述收入-消费支出例题中，如果给定? =0.01，查表得： 由于 于是，?1、?0的置信区间分别为： （0.6056,0.7344) （-6.719,291.52） 显然，在该例题中，我们对结果的正确陈述应该是：边际消费倾向β1是以99%的置信度处于以0.670为中心的区间（0.6056,0.7344) 中。 思考： 边际消费倾向等于0.670的置信度是多少？ 边际消费倾向以100%的置信度处于什么区间？ 由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间越小越好。 要缩小置信区间，需要 增大样本容量n。因为在同样的置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小； 提高模型的拟合优度。因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和越小。 §1.5 一元线性回归分析的应用：预测问题 一、预测值条件均值或个值的一个无偏估计 二、总体条件均值与个值预测值的置信区间 对于一元线性回归模型 给定样本以外的解释变量的观测值X0，可以得到被解释变量的预测值?0 ，可以此作为其条件均值E(Y|X=X0)或个别值Y0的一个近似估计。 严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。原因: 参数估计量不确定； 随机项的影响。 所以，我们得到的仅是预测值的一个估计值，预测值仅以某一个置信度处于以该估计值为中心的一个区间中。预测在很大程度上说是一个区间估计问题。 说 明 一、预测值是条件均值或个值的一个无偏估计 1、?0是条件均值E(Y|X=X0)的无偏估计 对总体回归函数E(Y|X=X0)=?0+?1X，X=X0时 E(Y|X=X0)=?0+?1X0 可见，?0是条件均值E(Y|X=X0)的无偏估计。 2、?0是个值Y0的无偏估计 对总体回归模型Y=?0+?1X+?，当X=X0时 可见，?0是个值Y0的无偏估计。 二、总体条件均值与个值预测值的置信区间 1、总体条件均值预测值的置信区间 由于 于是 可以证明 证明如下： 因此 故 其中 于是，在1-?的置信度下，总体均值E(Y|X0)的置信区间为 2、总体个别值预测值的预测区间 由 Y0=?0+?1X0+? 知: 于是 式中 : 从而在1-?的置信度下， Y0的置信区间为 在上述收入-消费支出例中，得到的样本回归函数为 则在 X0=1000处， ?0 = –103.172+0.777×1000=673.84 而 因此，总体均值E(Y|X=1000)的95%的置信区间为： 673.84-2.306?61.05 E(Y|X=1000) 673.84+2.306?61.0