第2章节桥梁抗震动力学基础幻灯片.pptVIP

桥梁抗震与减隔震 学习目标和要求 了解桥梁结构的振动阻尼产生原因、分类 理解地震动作用下结构振动方程的推倒过程 了解线性振动方程求解的振型叠加法 第2章 桥梁抗震动力学基础 2.1 桥梁结构的振动阻尼 2.2 地震动作用下结构运动方程 2.3 线性振动方程求解的振型叠加法 2.1 桥梁结构的振动阻尼 阻尼是反映结构体系振动过程中能量耗散特征的参数，是结构动力分析的基本参数，对结构动力分析结果的准确性有很大的影响。 阻尼？ 2.1.1 阻尼产生的原因及分类 振动过程中耗能因素有如下几方面: (1)结构材料内摩擦(由桥梁振动时其建筑材料分子间的内摩擦力所形成)； (2)连接处干摩擦或库仑阻尼(构件接触面或点的摩擦)； (3)空气阻尼； (4)地基土内摩擦； (5)地基中波的辐射耗能(辐射阻尼) 2.1.1 阻尼产生的原因及分类 阻尼分类: 从物理概念上分为内阻尼和外阻尼 从数学处理上分为粘滞阻尼和复阻尼 正交阻尼和非正交阻尼 2.1.2 正交阻尼 Rayleigh阻尼模型 由于振动系统无阻尼振型矩阵关于M和K的加权正交关系可知: 由上式可得振型阻尼比: （2-1） （2-2） （2-3） 阻尼常数： （2-4） 确定了上述参数之后，即可由式（2-3）确定出各阶振型的阻尼比，由式（2-1）确定阻尼矩阵。 有时也采用只与质量或刚度成正比的阻尼模型，即在式（2-1）中让 或 或 （2-5） 图2-1 阻尼比与频率的关系 Rayleigh阻尼模型只是正交阻尼模型的一个特例，从数学上可以找到一个更一般的表达式 2.2 地震动作用下结构运动方程 在地震动作用下，刚性基础的运动状态需要六个独立的运动参数描述，即三个平移运动自由度和三个旋转自由度，如图2.2所示。 2.2.1 刚性基础一致地震动输入下的地震动方程 图2.2 结构体系与基础运动 由于基础是刚性的，结构各支点之间不发生任何相对运动，结构内力完全由其动力反应产生。记结构相对于一个不动的体系的总位移表示为： 考虑到振动阻尼的作用，根据达朗伯原理可写出结构在基础运动作用下的运动方程为： 式中，M、C、K分别为为结构体系的质量、阻尼和刚度矩阵。 （2-8） （2-10） 将式（2-8）的第一项代入式（2-10）可得到 当结构的各支点的运动不同时，如图2-4所示，方程（2-10）不适用于描述结构的运动状态。此时结构体系运动的控制方程可如下导出： 图2-4 刚性基础非一致地震动输入下的结构体系与基础运动 2.2.2 刚性基础非一致地震动输入下的地震动方程 结构体系相对于不动参考体系的总位移向量表示为： 系统的运动方程可写为： 由式（2-15）的前一组方程可得到 （2-14） （2-15） （2-16） 可由式（2-16）略去与动力反应有关的项而得到： 即： 将式（2-14）代入式（2-16），并利用式（2-18）可得到结构动力反应的控制方式为： （2-17） （2-18） （2-19） 对于通常的工程结构，阻尼对上式右端项的贡献很小，可以略去。这样就得到了求解 的二阶动力学方程为 利用式（2-18）和式（2-20）求得 和 后，即可由式（2-14）求得 ，进而可以求得任何感兴趣的结构内力。 对于一致地震动输入情况，假定结构具有正交阻尼，则振动方程式（2-11）可用振型解耦为多个独立的广义单自由度体系。方法如下: （2-19） 2.3 线性振动方程求解的振型叠加法 做变换： 将式（2-21）代入式（2-11），前乘 ，利用振型矩阵关于 M、C和K 的加权正交关系可得到 式（2-22）可以采用多种方法求解。利用Duhamel积分， 可表达为： （2-21） （2-22） （2-24） 对于线性结构体系，任意反应量z与结构位移反应之间存在线性关系： 对于非一致地震动输入情况，由式（2-14）、式（2-18）和式（2-21）可知 （2-26） （2-28） 思考题 1. 什么是阻尼？ 2. 阻尼产生的原因是什么？ 3. 什么是正交阻尼和非正交阻尼？ 4. 试述地震作用下刚性基础的地震动方程。 5. 线性振动方程求解的振型叠加法是什么？ * 桥梁抗震与减隔震 *