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第十二章 无穷级数 常数项级数 定义： 1）无穷级数： 部分和：， 正项级数：， 交错级数：， 2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散 3）条件收敛：收敛，而发散； 绝对收敛：收敛。 性质： 改变有限项不影响级数的收敛性； 级数，收敛，则收敛； 级数收敛，则任意加括号后仍然收敛； 必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！） 审敛法 正项级数：， 定义：存在； 收敛有界； 比较审敛法：，为正项级数，且 若收敛，则收敛；若发散，则发散. 比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，，而发散，则发散. 比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散. 比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散. 根值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散. 极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得，则级数收敛. 交错级数： 莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：，且，则级数收敛。 任意项级数： 绝对收敛，则收敛。 常见典型级数：调和级数： 几何级数： p -级数： 函数项级数 定义：函数项级数，收敛半径，收敛域，和函数； 幂级数： 收敛半径的求法：，则收敛半径 泰勒级数 展开步骤：（直接展开法） 求出； 求出； 写出； 验证是否成立。 间接展开法：（利用已知函数的展开式） 1）； 2）； 3）； 4）； 5） 6） 7） 8） 傅里叶级数 定义： 正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。 傅里叶级数： 系数： 收敛定理：(展开定理) 设 f (x) 是周期为2(的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 傅里叶展开： ①求出系数：； ②写出傅里叶级数； ③根据收敛定理判定收敛性。 高等数学（下）知识点 1 第 1 页 共 6 页