计算电磁学1绪论.pptVIP

第二章 静电场 2011.10.31 主要内容 算子计算式的建立 带电导体板 复杂形状的导体 导体的任意激励 电极化率 介电体 2-1 算子计算式的建立 静电场的电场强度: 静电位满足Poisson方程： 边界条件： 微分算子的算式为 式中 静电位的已知解是 于是，L的逆运算子 静电问题的适当内积： 由格林恒等式可以推出 因为 的定义域就是L的定义域，所以算子L是自伴的。 由L和 表达式显然知道它们是实算子，下面证明它们也是正定算子。 应用矢量恒等式 和散度定理，则有 = 对于实数 ，且当 时，L是正定的。在此情况中L的正定性与静电能量的概念有关。 2-2 带电导体板 现讨论一块正方形导体板，边长为2a米，位于z=0的平面上，中心在坐标原点。设 表示导体板上的面电荷密度，板的厚度为零。则空间任意一点的静电位是 板上的边界条件是 （常数），此时积分方程是 式中 待求的未知函数是电荷密度 。 讨论导体板的电容： 假设将导体板划分为N个正方形小块，定义函数 而假设电荷密度表示为 则有 式中 注意， 是 上单位振幅的均匀电荷密度在 的中心处产生的电位。 平板电容相应地近似为 此结果可以解释为：物体的电容是其个小块电容的总和加上每一对小块间的互电容。 将上述结果翻译成线性空间和矩量法语言，令 取内积为 规定检验函数为二维的狄拉克函数 由于在板上Φ=V，则电容可写为 这是计算导体电容的常用稳定公式。 为了得到数值结果，必须计算 。 令2b=2a/√N表示每个 的边长，由 本身面上的单位电荷密度再起中心处产生的电位是 若将 上的电荷视为点电荷，并运用 则，对大多数用途来说，已足够精确。 2-3 复杂形状的导体 对静电问题，要用正方形小块面积来划分常常是不可能的。本节将研究某些近似方法，它可以使得几乎任意形状的导体均可用面积分块近似法来处理。 例.半径为r的平面圆盘，其上均匀分布着的面电荷密度为1，圆盘中心的静电位Φ可以由简单的积分式求出 比较相同面积A带有单位电荷密度的圆盘与正方兴办中心处的电位，结果是 两者之差小于0.54％.所以，如果分块面积不是很窄（即 面积/周长 比值大），对于矩形 中对角线元素的一个良好近似是 对于非对角线元素的有用近似是点电荷近似式，写成一般形式为 式中 是第m个分块与第n个分块中心的距离。 假如物体有两块面积又紧密靠近，如平行板电容器，就不能用近似式。