《23.4》函数的最值及其应用.ppt

第六章 数 列 一、函数的最大值与最小值的一般求法 探究 在日常生活中，经常会看到许多圆柱形容器，如茶叶罐、饮料罐等，物品， 测得容积一样的三种饮料罐的直径与高如下： 甲的直径为6.60，高为10.24 乙的直径为6.06，高为12.15 丙的直径为5.40，高为15.29 试计算：（1）三种饮料罐的直径与高的比 （2）三种饮料罐中哪一种设计比较合理（即用料最省）？ 观察图中一个定义在闭区间 上的函数 的图象．图中 与 是极小值， 是极大值．函数 在 上的最大值是 ，最小值是 ．一般地，在闭区间 上连续的函数在 上必有最大值与最小值． (2)将y=f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值 设函数f (x)在[a,b]上连续， f (x)在(a,b)在内可导，求f (x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1)求f (x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) 例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值 法一 (利用二次函数单调性)、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，结合二次函数图像来解决。 故函数f (x) 在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11， 最小值为2 法二（利用导数）、 f ′(x)=2x- 4 令f ′(x)=0，即2x – 4 =0， 得x =2 x 1 （1，2） 2 （2，5） 5 y， 0 y - + 3 11 2 练习 1.求函数 在区间 上的最大值、最小值 2.求函数 在区间 上的最大值、最小值 3.求函数 的最大值 二、函数的最大值与最小值的应用 例3在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时， 箱子容积很小，因此，16 000是最大值 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 cm， 得箱子容积 令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000 解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得 箱子容积 由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处． 事实上，可导函数 、 在各自的定义域中都只有一个极 值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 练习