6.2垂直关系的性质(北师大版).pptVIP

6.2垂直关系的性质 * 知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理 问题:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？ 1、直观感知 α a b a⊥α b⊥α } a∥b 一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α ，那么a∥b吗？从理论上如何证明这个结论？ α b a b’ o 已知：a⊥α,b⊥α 求证：a∥b 证明：假设a和b不平行，设b与α交于点0,b’是经 过点0与α平行的直线 ∵a∥b’ 且 a⊥α ∴b’⊥ α ∵过一点作一平面的垂线有且只有一条 ∴b 与 b’重合 ∴a∥b 知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 a⊥α b⊥α } a∥b α b a 由这个定理可知：要证明两直线平行，可以寻找 一个平面，使这两条直线同垂 直于这个平面即可 2、抽象概括 直线和平面垂直的性质定理 知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理 理论迁移 例1、如图，已知 于点A， 于点B， 求证： . A B C α β l a 例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD、BC1、DC1分别为三条面对角线，AC为一条体对角线. 求证 (1)A1C⊥BD (2)A1C⊥平面DBC1 A B C D A1 B1 C1 D1 E F 理论迁移 Ⅰ. 观察实验 知识探究（二）平面与平面垂直的性质定理 观察长方体 一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内, AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？从理论 上如何证明这个结论？ α β M N A B C 证明： 在平面α内作BC⊥MN，则∠ABC是二面角α-MN-β 的平面角 ∵平面α⊥平面β ∴∠ABC＝90° 即AB⊥BC 又AB⊥MN且MN与BC是两相交直线 ∴AB⊥α 知识探究（二）平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. Ⅱ.抽象概括 知识探究（二）平面与平面垂直的性质定理 平面和平面垂直的性质定理 简述为： 面面垂直 线面垂直 b 符号 表示 ≠ 作用：证明线面垂直 判断正误： 已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题 (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ） (3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（ ） (1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ） √ × × A B C D B1 C1 D1 N M A1 例3、 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1 内，且MN⊥BC于点M。判断MN与AB的位置关系，并说明 理由. 解：显然，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC， ∴MN⊥平面ABCD ∴MN⊥AB ≠ ≠ 理论迁移 如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中， （1）判断平面ACC’A’与平面ABCD的位置关系 （2）MN在平面ACC’A’内，MN⊥AC于M，判断MN与AB的位置关系。 A B C D A’ B’ C’ D’ M N 练习 课堂小结 1．直线与平面垂直的性质定理 a⊥α b⊥α } a∥b α b a 2、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 b ≠ （2）若 ，求证：MN 面PCD 如图，已知 矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点求证： （1） P A B C D M N E 当堂练习1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直且相交，分别交AC、A1D于E、F 求证：EF∥BD1 A B C D A1 B1 C1 D1 E F 证明：连接A1C1、C1D、B1D1、AD1 ∵AC∥A1C1 且EF⊥AC ∴EF⊥A1C1 又EF⊥A1D ∴EF⊥平面A1C1D ∵AB⊥A1D 且AD1⊥A1D ∴A1D⊥平面ABD1 ∴BD1⊥A1D 同理可证BD1⊥A1C1 ∴BD1⊥平面A1C1D ∴EF∥BD1 当堂练习2 例2：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， B O P A C (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。 (1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。 (1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平