北京交通大学历年试题几何与代数.docVIP

北 交 通 大 学 2002008学年第学期考试试卷，，， 且，则. 2、若有非零解，则 1，-2 . .3．若点，，共线，则的值分别是. 4. 由曲线围绕轴旋转一周所成曲面的方程是 5．已知向量组的秩为2，则 3 . 6． 设为阶方阵，的行列式为伴随矩阵，则 7. 向量组的一个极大线性无关组是 , 8. 通过点且与直线垂直的平面方程是 . 9. 设A是3阶方阵，1，，是A的3个特征值 24 . 10. 已知三阶方阵。则 . 二. (10分)计算n阶行列式 解 ....8分 ....10分 三．（12分） 当为何值时，线性方程组 无解，有惟一解，有无穷多解？并在有无穷多解的情况下，写出它的所有解（用导出组基础解系表示）。 解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形： ....3分 （1）当时，方程组有唯一解。 ....5分 （2）当时，方程组的增广矩阵可化为 （i）当时，方程组无解； ....8分 （ii）当时，方程组有无穷多解；此时方程组的增广矩阵可化为 一个特解是，导出组的基础解系是 此时方程组的通解是 ....12分 四．（10分）试求直线在平面：上的投影直线方程，并将它写为对称式方程 解 过直线的平面束方程 ...5分 与垂直的平面是。 ...7分 所求的投影直线方程为 ...8分 对称式方程为。 ...10分 五．（12分）设。求满足 的矩阵X，其中是的伴随矩阵，是的逆矩阵。 解 由知 ....4分 又 故 由， ....10分 所以 ....12分 六.（13分） 已知三元二次型 用正交变换化二次型为标准形，并写出相应正交矩阵； 指出方程表示何种二次曲面。 解 （1）二次型矩阵为 特征多项式 解得特征值为。 ….4分 对应三个特征值解得三个两两正交的特征向量 ….7分 将它们单位化为 …8分 作矩阵 …9分 则是正交矩阵。经正交变换，可将二次型化为 …11分 （2）可化为 它是一个椭圆柱面。 ……13分 七. （8分） 取何值时，三元实二次型 是正定二次型？ 解 （1）二次型矩阵为 ……2分 二次型正定当且仅当它的矩阵的各阶顺序主子式大于0。即 ……5分 解得 ……8分 八. 证明题（两题任选一题）（5分） （1）设是阶方阵，且。证明 （2）设是阶单位矩阵，是阶实矩阵。证明是正定矩阵，其中是的转置。 证明 （1）由，知。 ……2分 这样。 ……..4分 因此。 ……5分 (2)首先是对称矩阵。关于任何非零实向量，记。则 …….2分 ……4分 所以是正定二次型，从而是正定矩阵。 …….5分 北 交 通 大 学 2002009学年第学期考试试卷满足的夹角为，则以向量 为邻边的平行四边形的面积是 . 2 当有非零解，则 1/4 . 3 若平面经过点和轴,则此平面方程为 . 4 由曲线围绕轴旋转一周所成曲面的方程是 . 5 已知3阶矩阵 且，则 4 . 6设阶方阵的伴随矩阵为且.则 7 已知向量可由向量组线性表示, 则向量组的秩为 2 . 8 设为3阶方阵且行列式，（其中为3阶单位阵）。则 36 .（其中为3阶方阵）。 9 已知四阶行列式. 设为行列式中第行第元素的代数余子式，则 0 10 一个动点与的距离是此动点到平面距离的一半，则此动点的轨迹方程为：. 二. (10分)计算n阶行列式 解 （1）如果，任意两列对应成比例，故 ----------2分 (2) 如果, 第i行分别减去第一行，（i=2,3,…,n+1）得 （箭形行列式）-----------3分