全国初中数学竞赛辅导(初3) 第6讲 二次函数.docVIP

第六讲 二次函数　 　　11 (1)设抛物线y=2x2，把它向右平移p个单位，或向下移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，求p，q的值． 　　(2)y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点(1，3)与(4，9)，求p，q的值． 　　(3)y=ax2＋bx＋c向左平移三个单位，向下平移两个单位析式． 　　解 (1)抛物线y=2x2向右平移p个单位后，得到的抛物线为y=2(x-p)2．于是方程 2(x-p)2=x-4 有两个相同的根，即方程 2x2-(4p+1)x+2p2＋4=0 的判别式 △=(4p+1)2-4·2·(2p2＋4)=0， 　　抛物线y=2x2向下平移q个单位，得到抛物线y=2x2-q．于是方程2x2-q=x-4 有两个相同的根，即 △=1-4·2(4-q)=0， 　　(2)y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，得到的抛物线为y=2(x+p)2＋q．于是，由题设得 解得p=-2，q=1，即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位． 　　　 　　　　 h=3，k=2．原二次函数为 　 　　说明 将抛物线y=ax2＋bx＋c向右平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x-p)2＋b(x-p)＋c；向左平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x＋p)2＋b(x＋p)＋c；向上平移q个单位，得到y=ax2＋bx＋c＋q；向下平移q个单位，得到y=ax2＋bx＋c-q． 　　例2 已知抛物线y=ax2＋bx＋c的一段图像如图3－7所示． 　 　　(1)a，b，c的符号； 　　(2)a＋b＋c的取值范围． 　　解 (1)由于抛物线开口向上，所以a＞0．又抛物线经过点(0，-1)， 合a＞0便知b＜0．所以a＞0，b＜0，c＜0． 　　(2)f(x)=ax2＋bx＋c．由图像及(1)知 　 所以 a+b＋c=a＋(a-1)-1=2(a-1)， -2＜a＋b＋c＜0． 　　例3 已知抛物线y=ax2-(a＋c)x+c(其中a≠c)不经过第二象限． 　　(1)A(x0，y0)所在的象限，并说明理由； 　　(2)A(x0，y0)的直线y=-x+k与抛物线的另一 　　解 (1)因为若a＞0，则抛物线开口向上，于是抛物线一定经过第二象限，所以当抛物线y=ax2-(a＋c)x+c的图像不经过第二象限时，必有a＜0．又当x=0时，y=c，即抛物线与y轴的交点为(0，c)．因为抛物线不经过第二象限，所以c≤0．于是 所以顶点A(x0，y0)在第一象限． 　　　 　　　　　　　　　　　 B在直线y=-x+k上，所以0=-1+k，所以k=1．又由于直线y=-x+1经过 -2x2+2x．　 　　2 　　求二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式，需要三个独立的条件确定三个系数a，b，c．一般地有如下几种情况： 　　(1)a，b，c的三元一次方程组，解方程组可得系数a，b，c．或者已知抛物线经过两点，这时把两点坐标代入解析式，得两个方程，再利用其他条件可确定a，b，c．或者已知抛物线经过某一点，这时把这点坐标代入解析式，再结合其他条件确定a，b，c． 　　(2)(h，k)，这时抛物线可设为 y＝a(x-h)2＋k， 再结合其他条件求出a． 　　(3)x轴相交于两点(x1，0)，(x2，0)，此时的抛物线可设为 y=a(x-x1)(x-x2)， 再结合其他条件求出a． 　　例4 设二次函数f(x)=ax2＋bx＋c满足条件：f(0)=2，f(1)=-1， 　　解 由f(0)=2，f(1)＝－1，得 即c=2，b=-(a＋3)．因此所求的二次函数是 y＝ax2-(a＋3)x＋2． 　　由于二次函数的图像在x轴上所截得的线段长，就是方程ax2-(a＋3)x＋2=0两根差的绝对值，而这二次方程的两根为 于是 　 　 　　因此所求的二次函数表达式为 　　例5 设二次函数f(x)=ax2＋bx+c，当x=3时取得最大值10，并且它的图像在x轴上截得的线段长为4，求a，b，c的值． 　　分析 当x=3时，取得最大值10的二次函数可写成f(x)＝a(x-3)2＋10，且a＜0． 　　解 因为抛物线的对称轴是x=3，又因为图像在x轴上截得的线段长是4，所以由对称性，图像与x轴交点的横坐标分别是1，5．因此，二次函数又可写成 f(x)=a(x-1)(x-5) 的形式，从而 a(x-3)2+10=a(x-1)(x-5)， 所以 　　 　　 6 如图3－8，已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0，b＜0)的图像与x轴、y轴都只有一个公共点，分别为点A，B，且AB=2，b＋2ac=0． 　　(1) 　　(2)y=x＋k的图像过点A，并和二次函数的图像相交于另一点C，求△ABC的面积． 　　解 (1)因二次函数的图