全国初中数学竞赛辅导(初3) 自测题解答.docVIP

自测题解答 自测题一 又由题设知 　　　　　 所以m=19． 　　2ax≥-3的正整数解只有1，2，3，所以a＜0，x≤ 　　3y，得2x2-5x+1-0，所以 　　　　 　　　　　 　　4　　　　　　　　 f(x)=x(1-x)2，只需证fA．=fB．=fC．． 因为 　　　(x-a)(x-b)(x-c)　　　　　=x3-(ab＋c)x2＋(ab+bc＋ca)x-abc 　　　　　=x3-2x2x-abc=f(x)-abc， 所以 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)＋abc． 令x=a，b，c，得fA．=fB．=fC．，从而 a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2=abc． 　　5AC=24，BC=10，AB=26，可得AC2+BC2=AB2，所以∠C=90°，即△ABC为直角三角形． ＼ 　　设I为△ABC内心，过I向△ABC三边作垂线，垂足分别为D，E，F(如图3－228)．由切线长定理可得 因为∠IDC=∠C=∠IEC=90°，且ID=IE，所以四边形IDCE为正方形，所以内切圆半径=IE=CE=4． 　　 　　63－229．连结OD，因为AD切⊙O于D，所以OD⊥AD．又因为DE⊥AO，所以△ADE∽△AOD，所以 又因为AD2=AB·AC，所以 　　　　　　　　　　　 ABE∽△AOC， 所以　　　∠AEB=∠ACO． 　　73－230．由于DE∥BC，HI∥AB，FG∥AC，所以四边形DBHP和PFCE为平行四边形，所以 DP=BH，PE=FC． 又 　　　　　 而 　　　　　 所以 　 　　90°．又因为DE⊥AB，所以 DE2=AE·EB． ① 又由于CD是切线，所以∠CDA=∠ABD，而∠DBA=∠ADE，所以∠CDA=∠ADE，所以△ADC≌△AED，所以AE=AC，② CD=DE． 又因为∠CFD=∠DBE，所以△CFD≌△EDB，所以 FC=EB． ③ 由①，②，③得 DE2=AC·FC． 　 　　9C，AC=x，BC=y．BD⊥AD于D，BD=m，AD=n(图3－232)，则依题意求x＋2y的最小值，用S表示． 　　　　　 　　　　　　　　　　　3y2-4(S-n)y+(S-n)2+m2=0 　　　　　　 S的最小值，只要求S-n的最小值．因为y有实数解，所以 　 　 所以 　　　　AD多长，从B点修筑的公路应与铁路线成60°角． 　　注意 如果保持∠BCD=60°，但C点不在AD之间时，所得之解显然不适用．这时，直接由B到A筑一条公路而不用铁路会更省． 自测题二　 　　1　　　　　　　　　 a＋b+c=1，a-b=1．把这两个式子相加得 2a+c=2． 或由已知二式相加得4(a＋b+c)=4，从而a＋b+c=1．代入已知条件3a＋b+2c=3中，即得2a＋c=2． 　　284=m＋(m+1)+…+(m+k)(m，k为正整数)，则 即 　　　(k1)(k+2m)=168． k+1和k＋2m是奇偶性不同、大小不等的两个正整数，且k＋1＜k＋2m．由于 168＝3×56＝7×24＝8×21， 所以我们得出以下三个方程组： 解得 　　　　　 于是有 84=27＋28＋29， 84=9+10+11+12＋13+14+15， 84=7+8+9+10+11+12+13＋14． 　　综上所述，84能够表示成若干个连续正整数的和，表示方法共三种，如上所示． 　 　　3(1)如图3－233．连UP，在△ARQ与△BUP中，因为∠ARQ=∠UBP，又因为AR=TS=BU，RQ=BP，所以△ARQ≌△UBP，所以 ∠BUP=∠RAQ，UP∥AC． 所以过U引AC的平行线必过P点． 　　(2)UT=PC，PQ=AU，RS=QC，RQ=BP，ST=BU，PU=AQ，所以折线PQRSTUP=a＋b＋c． 　 　　4PA，PB(图3－234)，在△APN与△BPS中， ∠PNA＝∠PSB＝90°，∠NAP=∠PBS， 所以　　　△PNA∽△PBS， 所以 PS2=PN·PM． 　　 整数，矛盾．因此，不存在两个既约分数，它们的和与它们的乘积均为整数． 　　6px2-qx＋r=0的两个根，α≠β，0＜α＜1，0＜β＜1，我们有 　 　 所以　　　　　p2＞16r(p-q+r)． ① 又因为f(x)=px2-qx+r的二次项系数p＞0，且它的两个根在(0，1)内，故 f(1)=p-q＋r＞0，r(p-q＋r)＞0． 由于p，q，r均为正整数，故r(p-q+r)≥1．从①式便得 p2＞16r(p-q＋r)≥16， 所以p＞4，即p≥5．又当p=5时，二次方程5x2-5x＋1=0的两根　 　　73－235．作RS∥PQ交⊙O于S，连结PO并延长PO交RS于M．因为l切⊙O于P，所以PO⊥l．又因为RS∥l，所以