全国初中数学竞赛辅导(初3) 第3讲 简易高次方程的解法.docVIP

第三讲 简易高次方程的解法　 2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答． 　　例1 解方程 x3-2x2-4x＋8=0． 　　解 原方程可变形为 x2(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x2-4)=0， (x-2)2(x+2)=0． 所以 x1＝x2＝2，x3=-2． 　　说明 当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样 =0可化为 bkx3+bx2+dkx+d=0， 即 (kx+1)(bx2+d)=0． 　　方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理． 　　例2 解方程 　　　　(x-2)(x1)(x＋4)(x+7)=19． 　　解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得 (x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19． 设 　　　　　　 则 (y-9)(y+9)=19， 即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y2-81＝19． 　 　　说明 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之． 　　例3 解方程 (6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6． 　　解 我们注意到 　　　　2(3x+4)=6x8=(6x+7)+1， 　　　　6(x+1)=6x6=(6x＋7)-1， 所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令 y=6x＋7， ① 由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得 (6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12， 即 y2(y＋1)(y-1)=72， y4-y2-72＝0， (y2＋8)(y2-9)=0． 因为y2＋8＞0，所以只有y2-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为 　　例4 解方程 12x4-56x3+89x2-56x+12=0． 　　解 观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由　 　 　 　 　　　 　　　　 5 解方程 　　　　　 　　解 方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式． 　 所以 　　 x1=-1，x2=2是原方程的根． 　　例6 解方程 (x+3)4+(x+1)4=82． 　　分析与解 由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设 于是原方程变为 (y＋1)4＋(y-1)4＝82， 整理得 y4+6y2-40=0． 解这个方程，得y=±2，即 x+2=±2． 解得原方程的根为x1=0，x2=-4． 　　说明 本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如 (x＋a)4＋(x+b)4=c 　　例7 解方程 　　　　　x4-10x3-2(a-11)x22(5a+6)x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥-6． 　　解 这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即 　　　　a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x322x2+12x)=0， 　　　　△=4(x2-5x-1)2-4(x4-10x3＋22x2＋12x) 　　　　　=4(x2-2x+1) 所以 所以 a=x2-4x-2或a=x2-6x． 从而再解两个关于x的一元二次方程，得 　 练习三 　　1　　(1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根为_______． 　　(2)x3-3x＋2=0的根为_____． 　　(3)x4+2x3-18x2-10x+25=0的根为_______． 　　(4)(x2+3x-4)2＋(2x2-7x＋6)2=(3x2-4x+2)2的根为______． 　　 　　2 (4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x4． 　　3 x5＋2x4-5x3＋5x2-2x-1=0． 　　4 　 　　5 (x+2)4+(x-4)4=272． 　　6x的方程 x3+(a-2)x2-(4a+1)x-a2＋a+2=0．