§5-2向量的加、减运算.pptVIP

* §5—2 向量的加、减运算 一、向量的加法 复习与讨论 (1)已知点A(2,6)B(3,8) 则|AB| |BA| 各为多少？ (2)已知|OA|= |OB| ，且?AOB=60°，则 （A） AB=OA (B) AB=OB (C) |AB| =|OA| (D)OA=OB D C A B (3)已知在菱形ABCD中?ABC=60°，AB=a AD=b，用 a，b表示BC，CD O A B 物理学中一个位移的例子. [引入] 如果一个动点 P 由点A位移到点B， 又由点B位移到点C，如何表示呢？ A B C a b c P [结论] 可以看出，两次位移的结果就是 等于由点A位移到点C，即AC， ∴ AB+BC=AC （ a+b=c ). 从以上位移的求和，我们引出向量的加法法则： 一、向量的加法 1、定义4： 注意（1）这种运算叫向量的加法. （2）这种运算方法叫做三角形法则. 例如：已知 a，b （如图），求：a + b . a b b a 解：作图，头尾相接为a + b的和向量， a + b 当向量 a 的终点与向量 b 的始点相接时，以 a 的始点为始点，b的终点为终点所构成的向量 c，叫做向量 a 与向量 b的和向量，记为： c = a + b. 方向—指向 b的终点（三角形法则）. 和向量运算的两种情况 A D （1） a与b不平行 AD=a + b 头尾相接—和向量的三角形解法. 使首尾相连，同在一条直线上. （2）a与b平行 a b b C D a A B 1）a与b同向 AD= a + b D b 首尾相连，始点为 始点，终点为终点，即 为和向量. （3）零向量与任一向量的和. 2）a与b反向 AD=a + b a+0=0+a=a b C D B a A C D 例1： 求始点相重合的两个向量AB、AD的和. 解：由三角形法，得: A B D C 通过例1，我们发现了什么呢? 不难发现，连结DC，ABCD为平行四边形，AC是以AB、AD为邻边的平行四边形，所以，两向量始点重合，通过向量平移，可得平行四边形，那么，以重合始点为始点，构成的平行四边形的对角线向量，即为和向量。 注意：这种运算方法叫做平行四边形法. ∵BC=AD ∴AC=AB+AD 例2： O是正六边形ABCDEF的中心，求： （1）AB与BC的和 （2）AB与CD的和，并把和向量在图上标出来. A C B D E F 0 解（1）由三角形法： AC=AB+BC. （2）法一 连接 BO ： 法二 由平行四边形法： ABOF连成一个平形四边形 ∵BO = CD ∴AO=AB+BO=AB+CD. ∵CD=BO=AF ∴AO=AB+AF=AB+CD. 向量的加法满足： [注意] 小结 向量的加法 （1）三角形法：首尾相连 组成的和向量. 始点为始点，终点为终点， （2）平行四边形法： 作平行四边形 以重合始点为始点的对角线， 组成的和向量. （1）交换律：a + b =b + a. （2）结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 证明略. A B C D E F 例3：O是正六边形ABCDEF的中心， 0 试写出下列向量的和，并将 所得的向量表示在图上.(P170/B1). 解：见图示得： （1）OA与0E； （2）CB与BA； （3）CO与CD；（4）OE与ED； （1）OA+OE=0F； （3）CO+CD=CE； （2）CB+BA=CA； （4）OE+ED=OD . 当向量a的终点与向量b的始点相接时，以a的始点为始点， b的终点为终点的向量c，叫做向量a与b的向量，记为： a+b=c。 X Y M N O A B D E F O C 两向量始点重合，通过向量平移，可得平行四边形，那么，以重合始点为始点，构成的平行四边形的对角线向量，即为和向量。 课堂练习 A E D C B 首尾相连的若干个向量相加，等于以最初的始点为始点，最后一点为终点的向量，若两点重合，其和向量是零向量. (1)AB+BC =AC =AE =AD+DE (2)AC+CD+DE (3)AC+CD+DA =AD+DA =AD+(－AD) =0 §5—2 向量的加、减运算 二、向量的减法 复 习 B C D A O (1)填空 AB+BC=AC BA+BC=BD AB+BC+CD=AD 0 OA+OC= 二、向量的减法 先看图示： a A B C 对于A、B、C三点，用一个向量 来表示，则：AB+BC+CA，显然： 原式=AA=0，所以：AB+BA=AA=0，即： a +（-a）=0. 向量，所以，对于两个向量相减，可以加上“减去的