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§5-2向量的加、减运算
* §5—2 向量的加、减运算 一、向量的加法 复习与讨论 (1)已知点A(2,6)B(3,8) 则|AB| |BA| 各为多少? (2)已知|OA|= |OB| ,且?AOB=60°,则 (A) AB=OA (B) AB=OB (C) |AB| =|OA| (D)OA=OB D C A B (3)已知在菱形ABCD中?ABC=60°,AB=a AD=b,用 a,b表示BC,CD O A B 物理学中一个位移的例子. [引入] 如果一个动点 P 由点A位移到点B, 又由点B位移到点C,如何表示呢? A B C a b c P [结论] 可以看出,两次位移的结果就是 等于由点A位移到点C,即AC, ∴ AB+BC=AC ( a+b=c ). 从以上位移的求和,我们引出向量的加法法则: 一、向量的加法 1、定义4: 注意(1)这种运算叫向量的加法. (2)这种运算方法叫做三角形法则. 例如:已知 a,b (如图),求:a + b . a b b a 解:作图,头尾相接为a + b的和向量, a + b 当向量 a 的终点与向量 b 的始点相接时,以 a 的始点为始点,b的终点为终点所构成的向量 c,叫做向量 a 与向量 b的和向量,记为: c = a + b. 方向—指向 b的终点(三角形法则). 和向量运算的两种情况 A D (1) a与b不平行 AD=a + b 头尾相接—和向量的三角形解法. 使首尾相连,同在一条直线上. (2)a与b平行 a b b C D a A B 1)a与b同向 AD= a + b D b 首尾相连,始点为 始点,终点为终点,即 为和向量. (3)零向量与任一向量的和. 2)a与b反向 AD=a + b a+0=0+a=a b C D B a A C D 例1: 求始点相重合的两个向量AB、AD的和. 解:由三角形法,得: A B D C 通过例1,我们发现了什么呢? 不难发现,连结DC,ABCD为平行四边形,AC是以AB、AD为邻边的平行四边形,所以,两向量始点重合,通过向量平移,可得平行四边形,那么,以重合始点为始点,构成的平行四边形的对角线向量,即为和向量。 注意:这种运算方法叫做平行四边形法. ∵BC=AD ∴AC=AB+AD 例2: O是正六边形ABCDEF的中心,求: (1)AB与BC的和 (2)AB与CD的和,并把和向量在图上标出来. A C B D E F 0 解(1)由三角形法: AC=AB+BC. (2)法一 连接 BO : 法二 由平行四边形法: ABOF连成一个平形四边形 ∵BO = CD ∴AO=AB+BO=AB+CD. ∵CD=BO=AF ∴AO=AB+AF=AB+CD. 向量的加法满足: [注意] 小结 向量的加法 (1)三角形法:首尾相连 组成的和向量. 始点为始点,终点为终点, (2)平行四边形法: 作平行四边形 以重合始点为始点的对角线, 组成的和向量. (1)交换律:a + b =b + a. (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 证明略. A B C D E F 例3:O是正六边形ABCDEF的中心, 0 试写出下列向量的和,并将 所得的向量表示在图上.(P170/B1). 解:见图示得: (1)OA与0E; (2)CB与BA; (3)CO与CD;(4)OE与ED; (1)OA+OE=0F; (3)CO+CD=CE; (2)CB+BA=CA; (4)OE+ED=OD . 当向量a的终点与向量b的始点相接时,以a的始点为始点, b的终点为终点的向量c,叫做向量a与b的向量,记为: a+b=c。 X Y M N O A B D E F O C 两向量始点重合,通过向量平移,可得平行四边形,那么,以重合始点为始点,构成的平行四边形的对角线向量,即为和向量。 课堂练习 A E D C B 首尾相连的若干个向量相加,等于以最初的始点为始点,最后一点为终点的向量,若两点重合,其和向量是零向量. (1)AB+BC =AC =AE =AD+DE (2)AC+CD+DE (3)AC+CD+DA =AD+DA =AD+(-AD) =0 §5—2 向量的加、减运算 二、向量的减法 复 习 B C D A O (1)填空 AB+BC=AC BA+BC=BD AB+BC+CD=AD 0 OA+OC= 二、向量的减法 先看图示: a A B C 对于A、B、C三点,用一个向量 来表示,则:AB+BC+CA,显然: 原式=AA=0,所以:AB+BA=AA=0,即: a +(-a)=0. 向量,所以,对于两个向量相减,可以加上“减去的
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