排列组合转化策略.docVIP

谈谈排列组合应用题解题中的转化策略 排列组合是高中数学的一个重要组成部分，近年来由于概率纳入高中必修内容部分，其地位也更加体现出来。排列组合问题是计数问题中的一种常见问题。由于其解法往往是构造性的，因此方法灵活多样，不同解法直接导致了问题解决的难易变化很大。而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现，因而对这类问题进行归纳总结，并掌握一些常见类型问题的解题方法、解题策略显得尤为重要。 在数学问题的解决中，我们常常会通过数学转化，通过变更命题的形式、条件、背景等等，促使问题更加熟悉、更加简捷、更加方便解决。这里希望通过对一些具体的排列组合应用题的解决来体会数学转化策略的应用，以使我们在解决此类问题时能更加具有灵活和有针对性。 一、运用模型，转化问题背景 问题模型化，常常可以使问题更加系统，容易解决。这里我们先看看以下的模型1 （黑白球的排列问题）。 （1）5个不同的白球、3个不同的黑球，排成一排，有多少种排列方法？ （2）5个相同的白球、3个不同的黑球，排成一排，有多少种排列方法？ （3）5个相同的白球、3个相同的黑球，排成一排，有多少种排列方法？ 不难发现他们的结果各不相同，本质区别在于白球、黑球是否可辨别（即视为相同还是不同）。下面我们看看以下的两个例题。 例1、（熄灯问题）某城市新建的一条道路上有12只路灯，为节约用电而不影响照明， 可以熄灭其中三盏灯，但是两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，熄灯方法共有 （ ）种。 A. B. C. D. 例2、（捷径问题）如图，在某个城市中，两地之间有整齐的道路网，则从 到最短路线的条数有 （ ） A. B. N C. D. M 例1中，直接考虑比较困难，但我们稍加变化，即能转化成我们熟悉的问题，即：9个 相同的A和3个相同的B排成一列，要求B不排在两端，也不相邻，此时只需将B插入到9个A中即运用插空法可解决。例2中，本是确定从到最短路线的条数，正面去分类确定非常麻烦，如果转化一下：将到的路线中，横向记为A，纵向记为B，那么就转化为4个A和2个B的排列问题。当然，很容易解决。 以上两例，都反映出问题背景的转化，常常能变陌生为熟悉，大大增强我们解题的信心， 也能够使我们所学习的知识更加系统有序。 二、适当引参，转化问题结论形式 很多问题是我们熟悉的问题变化所产生的，如果能够变更问题的结论形式，使他 们与以前所学习的问题联系起来，常常会起到事半功倍的效果。 例3、先看这么两个问题： 问题1、求方程的正整数解的个数。 问题2、求不等式的正整数解的个数。 问题1可以联系到模型：“将10个相同的小球放入4个不同盒子”。这个模型可以运用挡板法解决。即：用3个挡板插入到10个球中将其分开。但问题2就很难想到解决方法，可能最容易想到的就是列举法了，但列举法解决的问题毕竟有限，数字稍微变大，就麻烦了。此时，如果考虑引进参数，即设，这时问题2也就是问题1了，因为他们是一一对应的。 问题3、小明有10颗糖（不可辨），每天至少吃一颗，只至吃完，那么有多少种吃法？ 问题正面分类，考虑分几天吃，那么问题就很复杂。转化考虑方式，即10颗糖排成一列，每两颗之间加一挡板，则分为两天。不加挡板，即在一天吃完。因此，问题转化为，九个间隔位置上是否加挡板。即吃法有。 所以，在转化时，通过对问题结论形式的变化，往往可以化繁为简，化生为熟，有效解决问题。 三、运用集合语言，转化问题叙述形式 例4、（跑步问题）6名运动员参加接力赛，要求甲不跑第一棒且乙不跑第四棒，有多少种安排方法？ 本题在解决时，如果从集合角度来看问题，叙述成集合语言形式，可以更加明确、严密。比如：记A：甲跑第一棒，B：乙跑第四棒。所求就是6人参加中，既不满足A也不满足B的安排方法。对应解法： =。 即安排方法数为。也可以这样：记A为甲不跑第一棒，B跑第四 棒，即：。可见，同样是运用集合语言，解决方法也不尽相同。但可以肯定的是，运用集合语言，常常可以使问题更加简洁、具有普遍性。 四、正难则反，转换问题解决角度 解题犹如攻城，必须知己知彼，正面的敌人多，相应的反面自然会少。这里我们看如 下的问题： 例5、取正方体的8个顶点中的4个可以构成多少个三棱锥？ 本题在解决时，由于正面情况不共面的四点组比较复杂，因此容易产生重复或者遗漏。然而，从反面考虑，即共面的四点组则比较少。即：。 正难则反的策略在题目中出现“至少”或者“至多”时常常会起到避实就虚的功效。